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Mathematics/해석학

(해석학) 10-1 부록. Separable Metric Space와 Base, 그리고 Compact set 앞에서 Compact set은 Countable Dense Subset을 가진다고 하였었다. 이를 증명하려면, 앞의 Topology 내용으로 잠시 돌아가야 한다. 먼저 다음 내용을 살펴보자. (Separable Metric Space) Countable Dense Subset을 가지는 Metric Space 예를 들어서, 유클리드 공간은 Separable이다. 유리수집합이 Countable한 것은 자명하기 때문에 생략하고, 실수에서 Dense인 것도 증명은 생략하겠다... 또한, 다음의 개념이 필요하다. (Base) 풀어서 설명하면, X의 base {V_alpha}는 X의 모든 점 x와 모든 open set G에 대해서 만약에 x가 G의 원소이면, {V_alpha}의 원소들 중에서, x를 포함하고, G에.. 더보기
(해석학) 10-1. 연속 종류가 왜 이렇게 많은지... (Uniform Boundedness, Equicontinuous) 이번 챕터에서는 나중에 쓸 개념과 용어들을 조금 정리하고, 동등연속(Equicontinuous)에 대해서 알아보도록 하자. 지금까지 계속 나온 개념이 바로 "Uniform" 이라는 개념이다. Uniform Continuous, Uniform Convergence를 보았는데, 유계(Boundedness)에 대해서도 "Uniform"을 이용할 수 있다. 1. Pointwise Bounded 즉, 각각의 x에 대해서 모두 bounded인 것을 말한다. 2. Uniformly bounded 즉, 모든 x에 대해서 공통의 M으로 bounded 되어있는 것을 말한다. 굳이 설명 안해도, Uniformly Bounded이면, Pointwise Bounded인 것은 자명하다! 예를 들어서 9-1에서 본 의 경우에는 P.. 더보기
(해석학) 9-3. lim와 적분 순서를 바꿔보자! (Uniform Convergence -> Integral/Differentiation) 이번 시간에는 저번에 못 다룬 Uniform Convergence와 미적분간의 관계를 알아보자. 2. 함수열의 적분가능성과 적분값 -> 언제, 적분과 lim 순서를 바꿀 수 있는가? (Integral and Seq of Functions) 즉, Uniformly convergent해야 적분과 lim 순서도 바꿀 수 있고, 적분가능성도 보존된다! (증명) 더보기 우리가 계속 보아왔던 8-5의 예시는 Uniform Convergent가 아니기 때문에, 이를 만족할 수 없었다... 즉, R(alpha)가 Complete Space가 되려면, Uniform Convergence가 추가가 되어야 한다. 3. 함수열의 미분 -> 언제 (f_n' -> f')가 되는가? (Differentiation and Seq o.. 더보기
(해석학) 9-2. Limit 순서, 적분 순서 바꾸는 게 마음처럼 안됐었다고?? (Uniform Convergence -> Continuity) 미적분학에서 다변수함수의 미적분, 특히 편미분을 다루면서 편미분 순서 바꾸는 것을 보았을 것이다... 미분의 정의를 생각해보면, 이는 결국 lim 순서를 바꾸는 것이다. 그 때는 미분의 정의를 이용해서 다 펼쳐서 생각했는데, 일반적으로 아무 생각없이 lim 순서를 바꾸는 것이 괜찮은 것일까??? 다음의 예시로 시작해보자... 1. LIMIT 순서 이 예시만 보아도 알 듯, 순서를 바꿔놨더니 결과가 달라진다. 다음 예시들도 다 순서에 따라 결과가 바뀐다.... 2. 함수열의 연속 연속도 Limit로 볼 수 있다! 3. 함수열의 적분가능성 4. 함수열의 적분값 5. 함수열의 미분 이런식으로, limit 순서 바꾸는 문제가 해결이 안되니, 연속, 미적분까지 문제가 생겨버린다.... 이를 해결할 수 있는 것이 .. 더보기
(해석학) 9-1. 수열의 원소를 Number에서 함수로 확장하면? (Uniform Convergence) 저번 챕터에서 리만적분가능한 함수들의 공간을 잠깐 살펴보았을 때, 주어진 함수들은 모두 적분가능했지만, 그것의 극한은 적분불가능한 예시를 보았었다. 즉, 이 때, 저 수열은 함수로 이루어진 수열로, 함수열(Sequence of Functions)라고 부를 수 있을 것이다. (Sequence of Functions)(함수열) 또한, 앞 챕터에선 함수열의 극한을 정의하지 않고, 그냥 뭉뚱그려서 넘어가긴 했지만(딱 봐도 직관적이니까...) 여기선 저 극한을 세분화해서 정의할 것이다. 이를 살펴보자! (Pointwise Convergence) 그러니까, 정의역 X에서 한 점만 딱 보고, 얘가 수렴하는 값들을 모아놓은 것이 Pointwise Converged f(x)가 된다. 급수도 똑같은 방식으로 Pointwi.. 더보기
(해석학) Summary 2. 수열부터 적분까지 *는 유클리드 공간 혹은 실수축에서만 성립 Chap 4. 수열의 수렴 1. 수열의 수렴성 1.1 수렴성과 극점 : {x_n}이 수렴하면 수렴값은 {x_n}의 limit point. 역으로, 극점에 수렴하는 부분 수열을 잡을 수 있다. 1.2 수렴성과 Compact set 1.{x_n}이 Compact set에서 정의되어 있다면, x_n에 수렴하는 부분수열을 잡을 수 있다. 2. 모든 부분수열들의 수렴값의 집합은 Closed set *3. 유클리드 공간에서 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. 2. 코시수열 2.1 코시수열의 수렴성 1. Compact set에서 코시수열이 수렴한다. by 축소구간정리 *2. 유클리드 공간에서 코시수열이 수렴한다. -> 코시수열이 수렴하는 공간을 Complete Spa.. 더보기
(해석학) 8-5. 아직 좀 부족한데....? (Improper Integral, Space of Riemann-Integrable ftns) 이번챕터에서는 저번시간에도 말했듯이 특이적분(이상적분)(Improper Integral)과 리만적분가능한 함수로 이루어진 공간에 대해서 이야기 하려고 한다. 먼저, Improper Integral에 대해서 살펴보자. (Improper Integral) 1. f가 x=a에서 unbounded인 경우! 예를 들어서, (무한대로 가는 경우는 극한이 존재하지 않는 것으로 본다) 2. 구간이 unbounded인 경우! 예를 들어서, 어떻게 보면, 너무 당연하게 확장되는 것이지만, 저 limit이 존재할 때만 정의된다는 것을 기억하자! 이를 이용해서, 미적분학 -> 적분판정법을 증명할 수 있다! 즉, 특이적분이 정의될 때, 무한대의 값이 아니니, 적분에 맞는 급수도 수렴한다는 것이다! (Integral Test o.. 더보기
(해석학) 8-4. 적분과 미분과의 관계는? (Fundamental Theorem of Calculus, Curve) 이번 챕터에서는 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)와 적분 나머지 파트들을 정리할 것이다. 먼저, 미적분학의 기본정리부터 살펴보자. (적분과 미분과의 관계) 특히, 2번이야 워낙에 잘 알고 있는 성질이지만, 적분결과가 연속이라는 것도(닫힌 구간이라 Uniformly continuous) 꼭 알아두자! (증명) 더보기 1. 연속의 정의를 이용하자! 2. F'(x)를 유도해보자! (Corollary) (Fundamental Theorem of Calculus(미적분학의 기본정리)) 여기서 알아두어야 할 것은 F가 유일하지는 않다는 것이다!(부정적분에서 상수항이 추가되는 것을 생각하자) (증명) 더보기 존재성은 위에서 증명을 하였고, 아래줄의 등식만 증명하면 된다! .. 더보기

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