본문 바로가기

제어이론/선형시스템 -> LTI System

(선형시스템) 8-4. State Estimator(Observer) 전 챕터에서는 State-Variable을 다 알고 있다는 가정 하에서, Full-state Feedback Controller를 작성하였는데, 문제는, 실제로 모든 state-variable을 알 수 없는 경우가 많다는 것이다... 그래서, 이 State-Variable x를 우리가 볼 수 있는 y를 통해서 "추정(Estimate)"하고, 추정한 x와 실제 x의 Error Dynamics를 이용해서, 이 Error를 0으로 줄이면서, x를 추정하게 된다. 이게 무슨 소리인가 싶을텐데, 아래 내용을 살펴보자. (여기서 D=O로 간략화!) 먼저, Original System을 이용해서 Estimated System을 구성하게 된다. 이 때... 당연히 Estimated System에는 추정에 의한 Erro.. 더보기
(선형시스템) 8-3. Full-State Feedback Control -> Pole Placement Frequency Domain에서의 Control은 PID Controller로 Error 자체, 기울기, 적분값에 비례해서 Controller를 만들어 주었다. 그러면, 이러한 State Variable System에선 어떤 식으로 Controller를 만들어 줄 수 있을까? -> 8-1에서 본 것 같이, Input에 Feedback을 먹여서 Controller를 만들 수 있다! u = -Kx 그런데, Frequency Domain에서는 Zero나 Pole의 위치로 이러한 Controller의 안정성이나 성능을 알 수 있었는데, 여기서는 어떻게 할까???? 다음을 살펴보자... 즉, 저 특성방정식이 결국 Closed-loop system의 Pole의 위치(Eigenvalue)를 말해주므로, "시스템의 .. 더보기
(선형시스템) 8-2. Controllability and Observability 지난 챕터에서 잠시 언급한대로, 1. (관측하는 값) y에서 x를 모두 추정할 수 있는가??? -> Observability 2. 우리가 x(혹은 y)를 원하는 대로 움직일 수 있는가??? -> Controllability 에 대한 내용을 이번 시간에 다룰 예정이다. 먼저, Controllabiliy에 대해서 살펴보자. 문제를 좀 더 정확하게 표현하기 위해 다음과 같은 질문을 해보자. -> x 혹은 y를 결정시키는 것은 어떤 것이 있을까?? -> 선형시스템을 그냥 미분방정식처럼 생각한다면 -> 1. 문제(위에서 A,B,C,D), 2. 초깃값(Initial Value) // (미분방정식에서 Initial Value Problem이라고 하는 바로 그것!) 이 있을 것이다. 그러면, 우리는 Controllab.. 더보기
(선형시스템) 8-1. Intro. of Full-State Feedback Control 지금까지는 "Frequency Domain"에서 Controller에 대해서 작성해보았다면 이번에는 다시 Frequency Domain 에서 배운 내용을 가지고 -> Time Domain으로 돌아와보자. 주어진 LTI 시스템은 Time-Domain에서 다음과 같았다. Frequency Domain에서 State-Feedback Control에 대해서 설명할 때, Closed-Loop System을 이용해서 Input(u)에 측정값(y)을 다시 먹이는(Feedback) 작업을 했었는데, Time Domain에서도 동일하게 생각할 수 있다. 즉, 그냥 이라고 생각해버리면 된다! 그런데, 여기서 State Variable x와 측정값(Estimated Value) y에 대해서 잠시 생각해보자. 1. State.. 더보기
(선형시스템) 7-4. Lead/Lag Compensator PID Controller 섹션에서 Lead/Lag Compensator에 대한 이야기를 잠시 했었는데, 마치 PD, PI Controller의 역할을 한다고 하였다. (게다가, PD Controller는 NON-Causal system이다!) 그러면, 왜 이런 Lead/Lag라는 이름이 붙었는지 살펴보자. (Lead Compensator) -> PD Controller의 역할! Lead Compensator의 Bode Plot을 그려보면서, 성질을 알아보자. 1. LOW-Frequency ( Magnitude와 Phase는 그대로 보존! 2. Medium-Frequency (z=0.1 안정성 UP 얼마나 Phase Margin을 높일 수 있는지 계산해보면... 즉, alpha가 작을수록 더 큰 Phas.. 더보기
(선형시스템) 7-3. Stability in Frequency-Domain -> Nyquist Plot 저번 시간에, Bode Plot을 통해서 Gain, Phase Margin에 대해서 알아보았다. 이 두 개의 개념으로는 얼마나 시스템이 Stable한 지, 수치적으로 알아볼 수 있었다. 그러나, 문제가 있는 것이... -> Gain Margin과 Phase Margin을 만족하면 Stable이지만 (Gain=1, Phase=-180deg가 될 수 없다!) 만족 못한다고 해서 꼭 Stability가 깨지는 것은 아니라는 것이다. (위 상황이 될 수도 있고, 아닐수도 있고..) => Gain, Phase Margin : 꽤 강한 Stability 조건! 그러므로, 조금 더 정확히 이를 판단할 필요가 있다... -> 앞에서도 보았지만, Complex Plane에 그려서 판단해보자!!! => Nyquist Pl.. 더보기
(선형시스템) 7-2. 시스템이 얼마나 안정한가? (Gain Margin, Phase Margin) 이번시간에는 Closed-Loop System의 안정성을 Frequency Domain에서 알아보자. Frequency Domain에서 알아본다는 이야기는 즉, Pole에 대한 이야기와 동일하다. 그런데, 우리가 Frequency Domain에서 이야기 할 때, 항상 sin파를 Input으로 집어넣고, 그 Response를 확인하는 것이기 때문에 -> s=iw로 놓고(즉, Input이 sin파), 저 g(s)=0이 되는지 안 되는지 살펴보면 된다! 즉, 여기서 할 이야기는 "Input"이 Complex Number 전체가 아닌, 허수축(Imaginary Axis)에 한정해서 본다! (물론, Response는 당연히 Complex Number 전체로 보아야 한다.) 그렇다면, Open-loop System.. 더보기
(선형시스템) 7-1. Bode Plot 지금까지는, 시스템의 반응을 Pole, Zero의 위치를 이용해, Time-Domain에서의 성능(performance)가 어떻게 나오는지 관찰했다. 그러면, 굳이... Time-Domain으로 바꾸지 않고, Frequency-Domain에서 이를 해석할 수는 없을까??? -> BODE PLOT 들어가기 전에, 오일러 공식에 대해서 잠시 생각해보자. 지금 우리는 계속 Complex Plane에서 분석을 하고 있기 때문에, Frequency s를 위의 오일러 공식을 이용해서 생각할 수 있다! -> 여기서 r을 s의 크기, theta를 s의 phase(각도)라고 생각할 수 있다!!! (Bode plot) 시스템에 어떤 Input(U(s))을 넣으면 Response(Y(s))를 얻을 수 있을텐데 이 때, 결국.. 더보기

티스토리툴바