본문 바로가기

분류 전체보기

(미분방정식) 9. Higher-Order ODE 지금까지 1차, 2차 미분방정식에 대해서 살펴보았다.더 고차의 미분방정식도 접근방식이 동일하다! (Definition of N-th order Linear Ordinary Differential Equation)다음 식을 N차 선형 ODE로 정의할 수 있다. 이 때, 초깃값은 다음과 같이 주어진다. => 이를 만족하는 식 y(t)를 구하는 것이 우리의 목적이다! 또한, n차 선형 ODE는 다음과 같이 구분할 수 있다. => 그러면, 2차 선 ODE에서 본 것 같이, 해는 다음과 같이 n개의 Basis(y1, y2, ...., yn)으로 구성된다. => 2차 ODE와 마찬가지로 Wronskian을 다음과 같이 정의할 수 있다. => 2차 ODE와 모든 성질이 동일하기 때문에, 자세한 내용은 패스하도록 한.. 더보기
(미분방정식) 부록 2. Non-Constant Coefficients & Nonlinear ODE 우리는 대부분 상수항을 가진 ODE를 보아왔는데, 이번엔 간략하게 상수항이 아니거나 비선형 ODE를 어떻게 푸는지 살펴보자.먼저, 이미 배웠던 내용들을 정리해보자. (1차 ODE) - Nonlinear 1. 변수분리법 - Linear 1. 변수분리법 2. Integrating Factor (Variation of Parameters), (일반적인 해) (2차 ODE) - Nonlinear 1. 변수분리법 2. ??? - Linear 1. 특성방정식 해, 미정계수법 (상수항) 2. Variation of Parameters (일반적인 해) (Example 1) (풀이)변수분리법 쓰면 바로 풀 수 있다. (Example 2) (풀이)약간의 트릭을 사용하여 변수분리법을 쓰게 만.. 더보기
(미분방정식) 부록 1. Wronskian (Advanced) 이번에는 Wronskian에 대해서 조금 더 자세히 알아보자.1. 선형결합과 Wronskian여기서 우리가 알아볼 것은 2차 ODE의 해에서 나오는 2개의 함수 y_1, y_2가 서로 linearly independent하다는 것이다.먼저, 미분가능한 함수 f,g가 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. 1. f,g가 linearly Dependent이면, 모든 t에 대해서 W(f,g)(t)=0 이다.2. 어떤 t에서 W(f,g)(t) ~=0 이면, f,g는 linearly independent이다. (증명)더보기1번을 증명하면 2번도 바로 증명되므로, 1번만 증명해보자.사실, 이건 선형대수학 내용만 알면 바로 증명되는 내용이다. Q.E.D위의 2번 내용을 다시 ODE와 엮어보자. 6-2, 6-3 에서 .. 더보기
(미분방정식) 8-2. Nonhomogeneous ODE - Variation of Parameters 이번에는 지난시간에 이어서 Nonhomogeneous ODE를 푸는 두번째 방식에 대해 알아보자. (Homogeneous Form)(Non-Homogeneous Form) (Method of Undetermined Coefficient ) VS (Variation of Parameters) 2. Variation of Parameters(한국말로 뭐라고 하는지 잘 모르겠네요....)미정계수법은 g(t)를 모르면 아예 접근이 불가능한 방식이었다. 이번에는 다른 방식으로 Nonhomogeneous ODE를 접근해보자. 우리가 Homogeneous ODE에서 선형 및 중첩 원리 이야기를 하면서 Solution을 다음과 같이 잡았었다그렇다면, Nonhomogeneous ODE도 해의 형태는 크게 차이나지는 않을.. 더보기
(미분방정식) 8-1. Nonhomogeneous ODE - Method of Undetermined Coefficients(미정계수법) 이번 챕터에서는 Non-homogeneous ODE를 푸는 방식을 알아보도록 하자. (Homogeneous Form)(Non-Homogeneous Form) 본 블로그에서 이를 푸는 방식을 크게 2가지로 나누려고 한다. ( Method of Undetermined Coefficient ) VS (Variation of Parameters) 1. 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)흔히, 수학에 대해 관심이 있다면...(중학교때 수업을 잘 들었다면?) "항등식"파트에서 나오는 미정계수법을 알고 있을 것이다.정확한 정의는 아니더라도, "항등식"에서 미정계수법은 다음과 같았다. (항등식에서의 미정계수법)모든 x,y에서 다음 식이 성립한다고 하자. (항등식)ax + by .. 더보기
(미분방정식) 7-3. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (3) 이번 챕터에서는 특성방정식의 해가 "중근"이 나오는 경우를 살펴볼 것이다. 우리 문제가 다음과 같이 주어져 있다고 하자. 그러면, 6-1에서 본 것처럼 해를 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 해가 2개가 나온 경우에는 두 개를 써줄 수 있었는데, 이 경우에는 근이 하나밖에 나오지 않으므로 위와 같이 써주는 것이 최선이다. 6-1에서 미분방정식의 해가 나올만한 함수들을 골라서 대충 때려넣었듯이, 억지로 이 미분방정식의 해가 나올만한 함수를 하나 더 찾아보자. (IDEA) 결국 exp(-t)는 해가 되어야 하므로, 다음과 같은 식이 해가 된다고 가정해보자! 그러면, 즉, 다음 식은 주어진 미분방정식의 해가 된다! => 우리가 특성방정식의 해로 구한 미분방정식의 해에 t를 곱한 것이 또 다른 해가 된다!! 일.. 더보기
(미분방정식) 7-2. 2nd-order ODE with Constant coefficients (2) 이번에는 특성방정식을 풀었을 때 2개의 허근이 나오는 경우를 살펴보자. 먼저, 미적분학을 보고 왔다면 이미 알겠지만, 오일러 공식을 다시 한번 떠올리자! 지수가 순허수인 경우가 아니라면 다음처럼 볼 수 있다. 자세히 설명할 필요도 없이 그냥 실수부와 허수부분의 지수를 따로 떼어놓았을 뿐이다. => 발산/수렴하는 (Exponential) 부분과 진동(삼각함수)부분을 분리! 두번째로 2차방정식에서 복소수 근이 나오는 경우 -> 당연히 "켤레복소수(Conjugate)" 또한 해라는 것을 알고 있을 것이다. 그런데, 흔히 저지르는 실수 중에 하나가 2차방정식의 계수가 모두 "실수"여야 한다는 조건을 놓친다는 것이다. 즉, 정리해보면 다음과 같다. (Solution of 2nd-Order Equation -> C.. 더보기
(미분방정식) 7-1. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (1) 6-1에서 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 푸는지 간단하게 보았는데, 이번 챕터에서는 조금 더 자세히 알아보도록 하자. 먼저, 계수가 상수인 2차미분방정식을 어떻게 풀었냐면 => 특성방정식(2차방정식)을 풀고 => 해를 다음과 같은 형식으로 놓고 => 초깃값을 집어넣어서 해를 구한다! 그러면 c1,c2를 구할 수 있으니 그대로 해를 써주면 그게 바로 2차미분방정식의 해였다!! 이 때, 우리는 특성방정식의 해의 종류를 기준으로 조금 더 알아보려고 한다. => 실근 2개 (7-1에서 설명) => 중근 1개 (7-3에서 설명) => 허근 2개(켤레복소수) (7-2에서 설명) 먼저, 실근이 2개인 경우 나올 수 있는 케이스는 다음과 같다. => 양수 2개 => 양수 + 음수 => 음수 2개 (해가 0인 경.. 더보기

티스토리툴바