(미분방정식) 9. Higher-Order ODE

지금까지 1차, 2차 미분방정식에 대해서 살펴보았다.

더 고차의 미분방정식도 접근방식이 동일하다!

 

(Definition of N-th order Linear Ordinary Differential Equation)

다음 식을 N차 선형 ODE로 정의할 수 있다.

 

이 때, 초깃값은 다음과 같이 주어진다.

 

=> 이를 만족하는 식 y(t)를 구하는 것이 우리의 목적이다!

 

또한, n차 선형 ODE는 다음과 같이 구분할 수 있다.

 

 

=> 그러면, 2차 선 ODE에서 본 것 같이, 해는 다음과 같이 n개의 Basis(y1, y2, ...., yn)으로 구성된다.

 

=> 2차 ODE와 마찬가지로 Wronskian을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

=> 2차 ODE와 모든 성질이 동일하기 때문에, 자세한 내용은 패스하도록 한다...

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(Example 1)

(Abel's Theorem in nth-ODE)

(Solution)

먼저 Wronskian의 미분값을 구해보자. 이때 Determinant 성질을 잘 이용하면 쉽게 구해볼 수 있다.

 

 

(Lemma1)

(증명)

(1)

먼저, 2 by 2 부터 증명해보자.

 

 

2 by 2까지는 쉬운데, 고차원으로 올라가면 약간 복잡해진다... (혹은, 필자가 몰라서...)

 

(2)

Determinant의 정의를 생각해본다면...

 

일단 부호는 제쳐놓고, Determinant 식을 모두 풀어쓰면, 각 행과 열에서 하나씩 골라온 것들을 곱해서 모두 더한 것과 동일하다.

1. W의 각 성분  : 행렬의 각 행과 열에서 행과 열이 겹치지 않도록 1개씩 골라온 것들을 모두 곱한 것

    ex)

2. W : 이 성분들의 총 합

그러면 이 식을 미분해보자.

 

아까 본 W의 각 성분에 1개씩 미분항이 들어갈 것이다. (물론, 각 성분에서 n개 중 어떤 걸 미분하냐에 따라서 경우의 수가 많아질 것이다.)

 

즉, W'의 전체 성분은 다음과 같이 뽑아낼 수 있다.

1. W처럼 각 행과 열에서 성분을 뽑아내는데, n-1개를 뽑아 온다.

2. 나머지 1개의 행/열 성분은 미분한 값으로 뽑아온다.

3. W'는 이를 다 더한 값이다.

 

(3)

Cofactor에 대한 다음 정리를 이용하면....

https://0418cshyun.tistory.com/168 참고!!! 

 

 

이 때, a_11~a_n1의 미분항은 Cofactor들의 미분항에 들어가 있지 않은 것을 알 수 있다.

즉, (2)와 결부해 생각해보면

위의 Determinant는 2행~n행에서 n-1개의 함수를 가지고 오고, 1행의 것만 미분항을 넣은 Term이라고 할 수 있다.

 

게다가, 동일한 방식으로 다음 식을 얻을 수 있다.

이 때의 Cofactor의 미분항에서도 a_12~a_n2의 미분항은 존재하지 않는다.

이 때에도 위의 Determinant는 1행,3행~n행에서 n-1개의 함수를 가지고 오고, 2행의 것만 미분항을 넣은 Term이라고 할 수 있다.

 

즉, 다음 식은 (2)에서 요구한 사항을 모두 만족한다.

 

그러므로, W'는 위 식과 동일하다.

게다가 부호의 경우도 각 sub-determinant에서 정해지기 때문에, 신경 쓸 필요가 없다.

 

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(Lemma 2)

 

(증명)

Determinant는 Row/Column에 대칭이므로, 위의 Lemma 1을 이용한다면 간단히 구할 수 있다.

 

 

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그러면, 이 성질들을 이용해서 Abel's Theorem을 증명해보자.

Determinant 계산에 익숙하다면, 간단할 것이다!

Q.E.D

사실, lemma1이 증명하기 까다로워서 그렇지, Determinant에 익숙하다면, 나머지 내용은 간단하다.

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(Example 2)

어려운 문제를 증명했으니, 쉬운 예제를 가보자!

 

 

아주 심플하다!!!

 

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(Example 3)

(중근이 많이 나오는 경우)

https://0418cshyun.tistory.com/206 참고!!!

 

특성방정식을 구해보면...

중근이 총 4개씩이나 나온다....

기존에 구했던 IDEA를 이용해보자!

즉, f''''(t)=0이 되는 식 3개를 더 구하면 총 4개의 basis를 채울 수 있다.

어렵게 생각할 필요 없이, f(t)는 다음과 같다.

그러므로 위의 방정식의 해는 다음과 같다.

=> 지금까지 보면 알겠지만, 중근이 나오는 경우 나오는 만큼 t를 곱해주면 된다!!

 

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(Example 4)

(복소수 중근이 나오는 경우)

 

=> 복소수 중근이 나와도 똑같이 t를 곱해주면 된다!! (위와 같이 증명해주면 된다!!)

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이번에도 2차 ODE 처럼 Variation of Parameter를 이용해서 일반해를 구해보자!!

 

(Variation of Parameter)

다음 식의 해를 구해보자!

그러면, 일반해의 형태는 이미 알다시피

그러면, Variation of parameter를 이용해보자!

 

자, 그러면 이 식을 다시 원래 식에 집어넣기 위해 미분해보자.

이 때, 2차 ODE 때 처럼 u'가 나오지 않게하기 위해 가정을 집어 넣어가면서 미분한다

 

자, 그러면 결국 다음과 같다.

 

이 때, i=n-1까지이다!!

i=n인 경우에는...

 

우리가 구한 미분값으로 원래 식에 집어넣으면 다음과 같다.

 

 

이를 위의 가정과 행렬로 표현하면

 

미분방정식의 해가 존재하는 경우 아까 본 Wronskian의 역행렬이 0이 아니므로, 각 u를 구할 수 있고, 이를 적분하여 일반해를 구하면 된다!