지금까지 배운 것들을 끄적여 보았습니다.
배운걸 그냥 두는게 아까워서 그저 아는 것만큼 작성하였습니다.
도움이 된다면 좋고, 안된다면 어쩔 수 없죠...
수정이 필요하거나 질문, 틀린 부분이 있다면 댓글로 알려주세요!
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해석학
(해석학) 17-2. 이게 방정식의 해의 존재성과 연관이 된다고?? (Implicit Function Theorem)
지난 챕터에선, 역함수 정리에 대해서 살펴봤었는데, 끝에 살짝 언급한 것과 같이, 역함수의 존재성이 일반적인 방정식의 해의 존재성과 일치한다는 것을 보았었다. 여기에 대해서 더 자세히 보자... (일반적인 방정식의 해의 존재성) 어떤 방정식이 주어졌다고 하자.... 그러면 그 방정식이 무엇이든 간에 한 쪽으로 몰아서 작성할 수 있다. 예를 들어서, 이렇게 복잡한 방정식도, 결국에 한 쪽으로 몰면 위처럼 정리가 된다. 그런데, 만일, f가 linear(행렬)라면... -> "선형" 연립방정식의 해를 구한다고 생각을 해보자... -> 결국 선형대수에서 하는 것! 1. 변수의 개수= 식의 개수이면, (해가 있다면) 유일한 해를 가진다는 것을 알 수 있다! (역함수(역행렬)의 존재성!) ex) 3x+y=4, x..
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(미분방정식) 9. Higher-Order ODE
지금까지 1차, 2차 미분방정식에 대해서 살펴보았다.더 고차의 미분방정식도 접근방식이 동일하다! (Definition of N-th order Linear Ordinary Differential Equation)다음 식을 N차 선형 ODE로 정의할 수 있다. 이 때, 초깃값은 다음과 같이 주어진다. => 이를 만족하는 식 y(t)를 구하는 것이 우리의 목적이다! 또한, n차 선형 ODE는 다음과 같이 구분할 수 있다. => 그러면, 2차 선 ODE에서 본 것 같이, 해는 다음과 같이 n개의 Basis(y1, y2, ...., yn)으로 구성된다. => 2차 ODE와 마찬가지로 Wronskian을 다음과 같이 정의할 수 있다. => 2차 ODE와 모든 성질이 동일하기 때문에, 자세한 내용은 패스하도록 한..
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(미분방정식) 부록 2. Non-Constant Coefficients & Nonlinear ODE
우리는 대부분 상수항을 가진 ODE를 보아왔는데, 이번엔 간략하게 상수항이 아니거나 비선형 ODE를 어떻게 푸는지 살펴보자.먼저, 이미 배웠던 내용들을 정리해보자. (1차 ODE) - Nonlinear 1. 변수분리법 - Linear 1. 변수분리법 2. Integrating Factor (Variation of Parameters), (일반적인 해) (2차 ODE) - Nonlinear 1. 변수분리법 2. ??? - Linear 1. 특성방정식 해, 미정계수법 (상수항) 2. Variation of Parameters (일반적인 해) (Example 1) (풀이)변수분리법 쓰면 바로 풀 수 있다. (Example 2) (풀이)약간의 트릭을 사용하여 변수분리법을 쓰게 만..
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(미분방정식) 부록 1. Wronskian (Advanced)
이번에는 Wronskian에 대해서 조금 더 자세히 알아보자.1. 선형결합과 Wronskian여기서 우리가 알아볼 것은 2차 ODE의 해에서 나오는 2개의 함수 y_1, y_2가 서로 linearly independent하다는 것이다.먼저, 미분가능한 함수 f,g가 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. 1. f,g가 linearly Dependent이면, 모든 t에 대해서 W(f,g)(t)=0 이다.2. 어떤 t에서 W(f,g)(t) ~=0 이면, f,g는 linearly independent이다. (증명)더보기1번을 증명하면 2번도 바로 증명되므로, 1번만 증명해보자.사실, 이건 선형대수학 내용만 알면 바로 증명되는 내용이다. Q.E.D위의 2번 내용을 다시 ODE와 엮어보자. 6-2, 6-3 에서 ..
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