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Mathematics/해석학

(해석학) 30. 해석학 총정리 (SUMMARY) 저번 시간까지, 내용들은 다 나왔고, 이번시간엔 배운 내용들을 정리해본다. (앞 내용은 정리한 것이 있으므로, 뒷 내용을 조금 더 많이 썼다.) 1. 실수의 완비성 SUP, INF -> 실수의 LUB성질 2. Compact Set의 성질 Compact Set -> 축소구간정리, 하이네-보렐 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리 3. 코시수열 Compact set에서 수렴! -> 단조수렴정리 4. 연속함수 수열의 극한 -> 함수의 극한 -> Closed! Uniformly Continuous 5. 함수의 미분(일변수) -> Mean Value Theorem(MVT)가 가장 중요! 6. 리만-스틸체스 적분(일변수) -> Partition -> Almost all 연속!!!(Piecewise Continuous).. 더보기
(해석학) 29-2. L2-space는 Hilbert Space! (Completedness of L2-space) (참고) (해석학) 13-1. 공대의 친구, 푸리에 급수(Meaning of Fourier Series): https://0418cshyun.tistory.com/78 (해석학) 13-1. 공대의 친구, 푸리에 급수(Meaning of Fourier Series) (NOTE) 여기서는 공대에서 쓰이는 개념(예를 들어서, Frequency Domain으로 변환하는 것이라던지...) 그런 거 말고, 수학적으로 어떻게 접근하는지 알아본다! 이번챕터에서는 Fouier Series(푸리에 급수)에 0418cshyun.tistory.com (해석학) 13-2. 푸리에 급수가 그렇게 좋은가? (Convergence of Fourier Series): https://0418cshyun.tistory.com/79 (해석.. 더보기
(해석학) 29-1. 르벡적분 -> 함수공간 (Lp-Space) (참고) (해석학) 8-5. 아직 좀 부족한데....? (Improper Integral, Space of Riemann-Integrable ftns): https://0418cshyun.tistory.com/67 (해석학) 8-5. 아직 좀 부족한데....? (Improper Integral, Space of Riemann-Integrable ftns) 이번챕터에서는 저번시간에도 말했듯이 특이적분(이상적분)(Improper Integral)과 리만적분가능한 함수로 이루어진 공간에 대해서 이야기 하려고 한다. 먼저, Improper Integral에 대해서 살펴보자. (Improp 0418cshyun.tistory.com 이번 시간에는 리만적분에서 했었던 함수공간에 대한 이야기를 계속 이어나갈 것이다. .. 더보기
(해석학) 28. 르벡적분과 리만적분 (Relation btw Lebesgue and Riemann) 저번 챕터에서 르벡적분이 리만적분을 포함한다는 말을 잠시 했던 적이 있는데, 이번 시간에는 그 관계에 대해서 살펴보자! (NOTE) 르벡적분과 리만적분을 표현할 때, 다음과 같이 표현할 예정이다! 헷갈리지 말자. (Riemann Integral and Lebesgue Integral) 즉, 리만적분가능하면, 르벡적분가능하다! (증명) 더보기 리만적분가능하면 f가 Bounded 라는 점을 이용하자. 즉, 여기까지, Partition으로 쪼개진 Discreted Lower Integral과 Upper Integral을 르벡적분으로 표현할 수 있다. 게다가, 우리가 배운 lebesgue's Monotone convergence Theorem을 이용하면, 즉, Upper Integral, Lower Integr.. 더보기
(해석학) 27-3. 르벡적분과 극한 (Limit of Lebesgue Integral) 이번 챕터에서는 Simple Function s와 f를 넘나들기 위해서 극한에 대한 이야기를 하려고 한다. (NOTE) 사실, 르벡적분이 리만적분을 포함하기 때문에, 여기 나온 성질 모두 리만적분에서도 해당이 되는 사항이라는 것을 알아두자! 아주 자주 쓰는 성질이 바로 f가 nonnegative function이면, Simple Function들로 f에 수렴하는 수열(monotonic increasing 하도록!)을 만들 수 있다는 것이다! 문제는 Simple Function에서는 쉽게 Manipulate 가능하지만, f는 limit이 걸리기 때문에, 그렇게 쉽지 않다는 것이다. 그러면, 이 문제를 해결하기 위해서 어떻게 접근할까??? -> f가 르벡적분가능하면, Finite한 값을 가진다고 했으니, 단.. 더보기
(해석학) 27-2. 르벡적분의 성질 (Almost all, Measure zero) 이번 시간에는 르벡적분의 성질을 보도록 한다. 만약에 Simple Function에 대해서 르벡적분을 한다면, 적분값이 단지 Measure의 합이므로, 르벡적분값이 또다른 Measure로서 작동할 수 있다는 말이 된다. 그러면, 일반적인 f에 대해서도, 르벡적분을 Measure로 쓸 수 있을까?? (Lebesgue Integral for Measure) 이 정리에 따르면, 일반적인 f에 대해서도 르벡적분을 Measure로서 쓸 수 있다!! (Countably Additive Set Function!) (증명) 더보기 1. 모든 measurable simple function에 대해서 성립해야 하므로, sup에 대해서도 (등호 붙어서) 부등식이 성립한다! 2. 르벡적분가능한 경우! 이므로, 위에서 나온 내.. 더보기
(해석학) 27-1. 드디어 르벡 적분의 정의(Definition of Lebesgue Integral) 이번 챕터부턴, 르벡 적분(르베그 적분)에 관해서 설명을 해볼까 한다... 먼저, 정의를 하기 위해 다음과 같은 몇가지 내용들을 살펴보자. (Characteristic Function)(특성 함수) (Simple Function)(단순 함수) 즉, 함수의 치역 원소가 Finite개수라면 Simple Function이라고 한다. 이 두 가지 내용을 이용하면, Simple Function은 특성함수의 Finite Linear Combination으로 쓸 수 있다. 즉, 그러므로, 둘 사이의 Measurable의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다. 즉, 우리는 지금 Characteristic Function -> Simple Function으로 확장했다... (마치, 집합에서 (구간) -> (Elementary.. 더보기
(해석학) 26. 함수를 재보자! (Measurable Functions) 지난 시간까진, 집합을 재어보았다면 이번 시간에는 함수를 재볼 것이다. 먼저, Measure가 정의된 Space에 대해서 생각해보자. (Measure Space, Measurable Space)(측도 공간과 잴 수 있는 공간) 예를 들어서, X가 자연수집합, sigma-ring을 X의 모든 부분집합, mu(A)를 A의 원소 개수라고 한다면 -> X는 잴 수 있는 공간! 그리고, 이 Measurable Space에서 정의된 함수에 대해서 Measurable Function을 정의하자. (Measurable Function)(잴 수 있는 함수) 어떻게 생각하면 되냐면.... 르벡적분 시작부분에서 다음 그림을 보았다! 르벡적분 부분에서, A의 길이(측도)는 결국에 저 가로로 길쭉한 직사각형의 가로 길이를 말하.. 더보기

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