(해석학) 30. 해석학 총정리 (SUMMARY)

저번 시간까지, 내용들은 다 나왔고,

이번시간엔 배운 내용들을 정리해본다. (앞 내용은 정리한 것이 있으므로, 뒷 내용을 조금 더 많이 썼다.)

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1. 실수의 완비성

SUP, INF -> 실수의 LUB성질

 

2. Compact Set의 성질

Compact Set -> 축소구간정리, 하이네-보렐 정리, 볼차노-바이어슈트라스 정리

 

3. 코시수열

Compact set에서 수렴! -> 단조수렴정리

 

4. 연속함수

수열의 극한 -> 함수의 극한 -> Closed!

Uniformly Continuous

 

5. 함수의 미분(일변수)

-> Mean Value Theorem(MVT)가 가장 중요!

 

6. 리만-스틸체스 적분(일변수)

-> Partition

-> Almost all 연속!!!(Piecewise Continuous)

 

7. "리만적분"가능한 함수공간

-> Norm과 내적 정의 가능, but 코시수열 수렴 안함(NON-Complete)

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8. Uniformly Convergent(균등수렴)

-> lim 순서를 바꾸는 데에 필수적!(연속, 미분, 적분기호...)

 

9. 연속함수공간에서 DENSE -> Stone-Weierstrass 정리!

 

10. 푸리에급수(in 리만적분)

-> Parseval's Thm -> 리만적분가능한 함수가 무한차원 유클리드 공간의 원소에 대응!

 

11. 다변수벡터함수(MIMO)의 미분

-> 선형대수 내용 도입! -> Jacobian, Total Derivative, Partial Derivative

-> 역함수정리, 음함수정리, Rank Theorem -> 방정식의 해의 존재성! (1계미분으로 Locally Linear!)

-> 고계미분 -> 편미분 교환법칙!

 

12. 다변수벡터함수(MIMO)의 적분

-> 좌표계변환(Change of Basis) -> (Jacobian의 Determinant)가 중요하다!

-> 미분형식(Differential Form) -> 결국에 적분표현 in MIMO

-> Stoke's Thorem(스토크스정리) in 미분형식! -> (k-form -> (k-1)-form!)

-> Closed form, Exact Form 사이의 관계 -> 푸앵카레 보조정리(Poincare's Lemma) -> Star-Shape

-> 미분형식 이용한 (2차원, 3차원) 적분 -> 선적분, 면적분

 

13. 르벡적분(Lebesgue Integral)

-> "리만적분가능한" 함수공간은 Non-complete.

-> 함수를 가로로 잘라서 적분정의!

-> 측도론!(Measure) -> 잴 수 있는(measurable) 집합, 함수 -> "Countable" Simple Function으로 표현!

-> Almost All, Measure Zero에 대한 내용 -> 직관적!

-> lim 어떻게 처리? -> Lebesgue's Monotone Convergence Thm, Fatou's Thm, Dominant convergence thm!

-> "Uniform Convergence"는 필요 없다! Measurable만 되면 된다!

-> 게다가 L2-space는 Hilbert Space(무한차원 유클리드 공간)

 

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자, 이렇게 해석학 카테고리는 마무리 지으려고 한다.

어떻게 보았는지 모르겠지만, 개인적으로는 초반에 싱겁게 놓친 부분들(예를 들어, 극한의 정의...)이 나중에 논리를 전개할 때, 아주 중요한 역할들을 한다고 생각한다... -> 그래서 "엄밀한 정의"가 중요한 듯 싶다...

 

아마, 아는 내용들은 꽤나 쉬울 것이고, 몰랐던 내용들은 상당히 어려울 수 있는데,

일단 한번 알고 있으면, 나중에 다시 들을 때 이해가 빠르게 되고, 잘못 알고 있던 것도 금방 캐치해낼 수 있으니, 진짜로 아는게 힘이라는 말이 어울리는 것 같다..

 

여기까지 해석학 카테고리였습니다.