(해석학) 28. 르벡적분과 리만적분 (Relation btw Lebesgue and Riemann)

저번 챕터에서 르벡적분이 리만적분을 포함한다는 말을 잠시 했던 적이 있는데, 이번 시간에는 그 관계에 대해서 살펴보자!

 

(NOTE)

르벡적분과 리만적분을 표현할 때, 다음과 같이 표현할 예정이다! 헷갈리지 말자.

---

(Riemann Integral and Lebesgue Integral)

즉, 리만적분가능하면, 르벡적분가능하다!

 

(증명)

리만적분가능하면 f가 Bounded 라는 점을 이용하자.

즉, 여기까지, Partition으로 쪼개진 Discreted Lower Integral과 Upper Integral을 르벡적분으로 표현할 수 있다.

게다가, 우리가 배운 lebesgue's Monotone convergence Theorem을 이용하면,

즉, Upper Integral, Lower Integral을 르벡적분으로 표현할 수 있다.

또한, f가 L과 U 사이에 끼어있으므로, f도 르벡적분가능하고, Measurable function이다!

 

여기서, 르벡적분의 장점이 보이는데

-> 리만적분에선 Uniform Convergence가 붙어야 lim과 적분순서를 바꿨는데

-> 르벡적분에선, 그런거 필요 없다!!!

 

---

게다가 위 내용을 이용하면 다음과 같은 "연속성"에 대한 성질도 얻는다.

(Continuity of Riemann Integrable function)

(역 때문에, bounded 조건을 붙였다!)

 

(증명)

위의 증명을 조금 더 이용하면

 

조금 더 나아가서, 르벡적분에서 미적분의 기본정리를 살펴보자.

-> 리만적분으로 치환 가능하니, 리만적분에 대한 이야기도 그대로 적용 될 수 있다!

(Fundamental Theorem of Calculus (In Lebesgue))

여기서, 리만적분에 비해서 조건 몇 개들이 완화된 것을 확인할 수 있을 것이다!

(예를 들어서, 연속성에 대한 내용이 사라지는 대신 Almost Everywhere가 들어간다던가....)

증명은 여기서는 생략한다! (더 많은 내용이 필요하기 때문!)

---

지금까지, 1차원 구간에 대해서만 르벡적분을 생각했었는데, 차원 확장은 어떻게 시킬까??? -> to Complex Plane!

 

(Lebesgue Integral in Complex Plane)

사실, 우리가 Complex Function을 다룰 때, 실수부분과 허수부분을 쪼개서 생각한 것 같이, 여기서도 마찬가지다.

이 성질은 Trivial하니, 따로 증명은 안하지만, 이를 이용하면, 똑같이 정의를 확장할 수 있다!

(Definition on Complex Plane)

특히, 

이므로, 르벡적분가능성도 다음과 같이 정의한다.

(Lebesgue Integrable on Complex Plane)

즉, 절댓값의 적분값이 Finite하면 된다!

또한, 이를 이용하면

도 Trivial하게 보일 수 있다.

 

정리하자면, 그냥 Real Line(1차원 구간)에서 했던 것처럼 동일하게 하면 된다!

(단, 대소비교가 불가능해지므로, Monotone Convergence Theorem 같은 대소비교가 있었던 정리들은 그대로 쓰지 못한다!)

 

---

여기까지, 르벡적분과 리만적분의 관계성에 대해서 알아보았다.

정리하면, 르벡적분이 리만적분보다 더 큰 범주에 있다는 것을 알아본 것이다...

 

게다가, 우리가 저번시간에 알아본 Monotone Convergence, Dominant Convergence Theorem 덕분에, Uniform Convergence에 대한 걱정도 덜었다는 것을 확인할 수 있었다! 

 

다음시간에는 약간 다른 결로, 르벡적분이 이루는 함수 공간에 대해서 살펴볼 것이다!

-> "푸리에 급수 파트에서 했던 함수공간 이야기"를 보고 오면 좋음!