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Mathematics/미적분학

(미적분학) 부록3. 벡터 내적, 외적 공식 더 알아보기 이번챕터에서는 잘 나오지만, 따로 배우기는 힘든 벡터 공식들에 대해서 알아볼 것이다. 참고로 내적과 외적을 분배법칙처럼 써버리면 안된다! 1. (Note) abc 순서대로 있을 때 등식 성립.... (증명) 사실, 저 세 식 다 육면체의 부피이다. axb는 밑면의 넓이가 되고, c와 내적을 하면, axb의 방향이 밑면에 수직이라 육면체의 높이가 된다. 그러므로, 저 세 식 다, 육면체의 부피가 된다. 다만 방향의 문제 때문에 abc가 순서대로 돌 때 등식이 성립한다. 또한, bxc 계산할 때 determinant에서 i,j,k를 그냥 a_1,a_2,a_3로 바꿔버리면 쉽게 임을 보일 수 있다. 2. (증명) 사실 별건 없고, 성분별로 다 풀어쓰면 된다.... 그러나 많이 쓰이는 공식이므로 알아두면 좋다... 더보기
(미적분학) 부록2. 면적분과 물리 (Maxwell's Equations, Navier-Stokes Equation) 이번 챕터에서는 면적분이 어떻게 물리에 활용되는지 살펴보려고 한다. 전자기학에서 중요한 맥스웰 방정식(Maxwell's Equations)과, 유체역학에서 활용되는 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equations)의 증명 말고 의미 정도만 살펴보려고 한다. 1. Maxwell's Equations 전자기학에서 맥스웰 방정식은 전자기학의 기본이 되는 방정식으로 알려져 있는데, 이 식이 의미하는 것은 결국엔 전기장과 자기장이 어떻게 작동하는지 알려주는 것이다. 총 4가지 식으로 되어 있는데 다음과 같다. 여기서 E는 전기장, B는 자기장, epsilon_0은 진공의 유전율, mu_0는 진공의 투자율을 뜻한다. (1번 식) -> 전기장에 대한 가우스 법칙 간단하게 이야기하면, V의 bound.. 더보기
(미적분학) 부록1. 끝난게 끝난게 아닌 최대/최솟값 찾기 (Lagrange Multiplier) 다변수함수의 미분 파트에서, 주어진 f(x)의 최댓값과 최솟값을 찾는 방법에 대해서 알아보았다. -> 이를 그냥 뭉뚱그려서 최적화 문제(Optimization)로 볼 수 있다. gradient와 hessian을 이용한 방법은 x값에 조건이 없다. 하지만, 실제로 x에는 조건들이 가득하다. (예를 들어서, x 성분이 모두 양수여야 한다 or x의 norm이 1보다 작아야 한다는 등....) 이러한 조건들을 그냥 g(x) 첫번째 식과 두번째 식을 만족하면 극점(최댓값 or 최솟값)이다! (예시) 그러면 다음과 같이 Lagrange Function을 잡으면 된다. Lagrange Multiplier는 사용하는 것이 어렵지 않기 때문에 복잡한 함수의 최댓값, 최솟값을 찾는데 유용하다. (다만, 등식 조건이라는게.. 더보기
(미적분학) 17-2. 드디어 마지막, 스토크스 정리 (Divergence, Curl in 3D, Stokes' Theorem) 지난 챕터에선 2차원 평면에서의 divergence와 rotation을 보았다. 이번엔 3차원 공간에서 알아보자. 정의는 2차원과 똑같다! (Divergence(발산)) (Curl) 보면 알겠지만 rotation은 curl의 2차원 버전이었다고 생각하면 된다. 의미도 2차원과 동일하므로 생략한다. (생략한다고 중요하지 않은게 아니다!) 발산정리와 그린정리도 동일하게 성립한다. (다만, 그린정리 -> 스토크스정리) (Divergence theorem)(2차원3차원) 이 때 normal vector의 방향은 앞과 같이, 밖으로 나오는 방향으로 정한다. 증명은 앞 챕터에서 했으므로 생략한다. n차원으로도 충분히 확장 가능하다. (Stokes' Theorem)(1차원2차원) in 3D 그린 정리와 뭔가가 비슷하.. 더보기
(미적분학) 17-1. 물리학에서 많이 쓰이는 바로 그 정리 (Divergence, Rotation(Curl) in 2D) 이번 챕터에서는 물리학에서 꽤나 많이 쓰이는 발산(Divergence)과 회전(Rotation)에 대해서 알아볼 것이다. 17-1에서는 2D에서, 17-2에서는 3D에서 살펴볼 것이다. 일단, 2D에서 (Divergence(발산)) 다음과 같은 벡터장 F가 주어졌을 때, Divergence는 다음과 같다. (Note) 미분 operator del을 이용한 표현에서, 아래 표현들을 헷갈리지 말자! (벡터장이라 gradient 표현을 확장했다. -> F가 R^n -> R^1 이면, del F는 우리가 아는 gradient 표현일 것이다.) (Rotation(회전도)) 위와 같은 벡터장 F가 주어졌을 때, Rotation은 다음과 같다. 3D에서 보겠지만, Rotation은 Curl을 2차원에서 본 것이다. .. 더보기
(미적분학) 16-3. 계속 나오는 데에는 이유가 있지 (좌표계 변환과 치환적분법) (해석학 참고링크) (해석학) 19-2. 다변수벡터함수의 적분을 정의하자! (Change of Coordinates(Basis)): https://0418cshyun.tistory.com/92 (해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral): https://0418cshyun.tistory.com/101 (해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral) (미적분학 참고링크) (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potentia.. 더보기
(미적분학) 16-2. 그냥 순서대로 적분하면 되는거 아닌가??? (Multiple Integral, Fubini's Theorem) (해석학 참고링크) (해석학) 19-1. 다변수벡터함수의 적분... 리만-스틸체스 적분처럼?? (Overview of Integration of MIMO -> Integral on K-cell): https://0418cshyun.tistory.com/91 (해석학) 19-1. 다변수벡터함수의 적분... 리만-스틸체스 적분처럼?? (Overview of Integration of MIMO -> Inte 이번 챕터부터 다변수벡터함수(MIMO)의 적분에 대해서 들어가려고 한다. 이해를 돕기 위해서 일변수함수(SISO)의 적분(리만-스틸체스적분)과 비교해보자... 일단, 먼저 적분을 위해서는 적분 구간( 0418cshyun.tistory.com 지난 챕터에서 면적분에 관련한 이야기를 하였을 때, 다중적분에 대.. 더보기
(미적분학) 16-1. 선적분과 비슷한 듯... 면적분 (Surface Integral) (해석학 참고링크) (해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral): https://0418cshyun.tistory.com/101 다시 chap 14로 돌아가서, 다변수함수의 적분 문제에서 적분구간에 다변수함수를 태우는 상황을 생각해보자. 선적분에서는 저 g(x)가 다음과 같은 곡선이었다. 또한, 적분값은 항상 일변수(1차원)를 원하므로(물론, 다변수(벡터)의 적분을 각 성분마다 적분한 것으로 볼 수 있다.) f dg 자체가 일변수함수(1차원)이다. 예를 들면, f(n -> 1)와 dg(1 by n)의 내적을 통해서 일차원함수로 만들던지, 아니면 곡선의 길이를 구할 때처럼 norm을 씌워서(|dg.. 더보기

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