(미적분학) 17-1. 물리학에서 많이 쓰이는 바로 그 정리 (Divergence, Rotation(Curl) in 2D)

이번 챕터에서는 물리학에서 꽤나 많이 쓰이는 발산(Divergence)과 회전(Rotation)에 대해서 알아볼 것이다.

17-1에서는 2D에서, 17-2에서는 3D에서 살펴볼 것이다.

 

일단, 2D에서

 

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(Divergence(발산))

다음과 같은 벡터장 F가 주어졌을 때, Divergence는 다음과 같다.

(Note) 미분 operator del을 이용한 표현에서, 아래 표현들을 헷갈리지 말자!

(벡터장이라 gradient 표현을 확장했다. -> F가 R^n -> R^1 이면, del F는 우리가 아는 gradient 표현일 것이다.)

 

(Rotation(회전도))

위와 같은 벡터장 F가 주어졌을 때, Rotation은 다음과 같다.

3D에서 보겠지만, Rotation은 Curl을 2차원에서 본 것이다.

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저 발산과 회전도가 어떤 의미인지 확인해보자.

 

1. Divergence의 의미

각각의

는 벡터장 F의 각 축으로의 속도 벡터라고 할 수 있다.

그렇다면, 이를 다 합치면, 벡터장이 원점으로부터 나가는 정도를 표현하는 것이라고 할 수 있다.

보다 정확하게는 벡터장에 의한 부피 변화량으로 생각할 수 있다.

 

잘 이해가 안 가는 사람들을 위해서, 예시를 들어보자. (15-3 선적분 파트 예시)

이 경우에 원 C에서 벡터장 밖이나 안으로 퍼져나가지 않는다.

다음 경우에는 벡터장이 원점으로부터 퍼져나가게 된다.

 

이 경우에는 divergence가 0이 아니게 된다. (원점으로부터 퍼져나가므로)

 

또한, divergence가 부피 변화량이라는 이야기는 다음 증명으로 보일 수 있다.

 

(증명) (3D인 경우로 증명함)

시간이 t=0일 때 어떤 부피(면적) V를 잡자. 그러면, V 내부에 있는 점은 벡터장 F에 의해서 시간이 t일 때, 부피가 V(t)으로 바뀔 것이다. 이 때, 이를 기술하는 mapping(T_t)을 다음과 같이 잡자.

여기서 평균값 정리를 이용하면,

즉, 한 점에서의 divergence는 부피의 변화량을 이야기한다.

(Note) Trace in Matrix

또한, 중간에 다음과 같은 Lemma를 이용하였다.

(증명)

(sigma를 잡을 때, 대각성분만 살아남는다)

 

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2. Rotation의 의미

Divergence의 예시를 그대로 들고 오자.

그러면,

딱 보아도 회전하는 벡터장에서는 rotation이 0이 아니다.

그러나 다음 예에선 회전도가 0인 것을 확인할 수 있다.

이렇듯, 회전도는 벡터장이 회전(벡터장을 따라가면 다시 원 위치로 오는지...)하는지를 보여준다.

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일단 개념은 알았고, 이제 중요한 발산정리(Divergence Theorem)과 그린정리(Green's Theorem)에 대해서 알아보자!

 

1. 발산정리(Divergence Theorem)(1차원<->2차원)

즉, boundary(경계면)을 따라서 수직방향으로의 적분은, 영역 내부 전체에서의 divergence와 동일하다는 내용이다.

여기서는 일단 영역 D를 bounded, closed(compact)라고 하고, 또한, boundary(경계면)은 이 D의 경계를 이야기하고, 방향(n)은 D에서 밖으로 나가는 방향으로 정의하자.

예를 들어서,

사실 이런식으로 써놓았지만, 물리적으로는 다음과 같이 생각하면 된다.

(내부의 divergence의 변화는 경계면에서의 흐름(flux)만 확인하면 된다!)

일종의 에너지 보존처럼 생각할 수 있다는 것이다! -> 경계면에서의 물리량의 흐름만 체크해주면 된다!

 

(증명)

먼저, 간단한 경우(직사각형)의 증명을 살펴보자.

 

직사각형인 경우에는 증명이 완료 되었고, 이와 비슷한 방법으로 직사각형에서 한 쪽 boundary가 곡선으로 표현되는 영역의 경우도 증명할 수 있다. 일반적인 영역에서는 주어진 영역을 직사각형으로 잘게 쪼개서, 또한, 직사각형으로 안 나눠지는 곳은 한 쪽 boundary만 곡선으로 나타낼 수 있을 것이다. 이 때, 영역 내부에서 각 조각의 divergence는 서로 반대 방향으로 상쇄되므로, 모든 조각들의 적분값의 합은, 전체 영역의 divergence의 적분값과 동일하다.

각 영역에서의 divergence의 적분

각 영역에서 상쇄된 후의 divergence

그러므로, 직사각형에서 발산정리를 증명하였으므로, 일반적인 영역에서도 발산정리가 성립한다.

이는 3차원이나 고차원으로 확장해도 똑같이 성립한다!

 

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2. 그린정리(Green's Theorem) (1차원 <-> 2차원)

즉, 영역 경계를 따라서 (곡선방향으로) 적분한 결과는 영역 전체에서의 rotation과 동일하다는 것이다.

증명을 확인하면, 이 정리가 무엇을 뜻하는지 바로 알 수 있다.

 

(증명)

증명 flow는 위의 발산정리와 동일하다.

1. 직사각형에서 증명 -> 2. 일반적인 모양에서의 증명

먼저, 직사각형에서 증명해보자.

 

발산정리와 같은 방법으로 일반적인 모양의 영역에서 생각해보면, 일반적인 모양에서도 성립함을 알 수 있다.

각 영역에서의 rotation 적분

상쇄된 후의 rotation

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발산정리와 그린정리를 이용하면, 면적을 얻을 수도 있다.

1. 발산정리를 이용한 넓이 계산

2. 그린정리를 이용한 넓이 계산

 

주어진 곡선(경계면)에 따라서 둘 중 어떤 것을 이용하는게 편할 때가 다르므로, 그때그때 편한거 이용하면 된다.

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지금까지 2차원 평면에서 divergence와 rotation에 대해서 알아보았다.

여기선 간단한 응용만 보았지만, 물리학에서 특히 맥스웰 방정식 등에서 정리들이 많이 사용되므로 꼭 알아두자!

 

다음 챕터에선 3차원 공간에서 똑같이 divergence와 rotation(Curl)에 대해서 알아보자.