(미적분학) 16-1. 선적분과 비슷한 듯... 면적분 (Surface Integral)

(해석학 참고링크)

(해석학) 23-1. 벡터장과 미분형식, 그리고 면적분 (Vector Field, Differential Form, and Surface Integral): https://0418cshyun.tistory.com/101

---

 

다시 chap 14로 돌아가서, 다변수함수의 적분 문제에서 적분구간에 다변수함수를 태우는 상황을 생각해보자.

선적분에서는 저 g(x)가 다음과 같은 곡선이었다.

또한, 적분값은 항상 일변수(1차원)를 원하므로(물론, 다변수(벡터)의 적분을 각 성분마다 적분한 것으로 볼 수 있다.) f dg 자체가 일변수함수(1차원)이다.

예를 들면, f(n -> 1)와 dg(1 by n)의 내적을 통해서 일차원함수로 만들던지, 아니면 곡선의 길이를 구할 때처럼 norm을 씌워서(|dg|)(1 by n -> 1), f(1 -> 1) 일차원으로 내리는 방법을 쓰게 된다.

 

이번에는 다음과 같은 적분구간을 생각해보자.

그렇다면, dg는 m by n matrix가 될 것이고, 위와 같이 적분값을 1차원으로 내리기 위해선, 내적이나 norm 등의 여러 연산들을 이용하게 된다.

 

m=2인 경우의 예시가 면적분이다.

예를 들어 면적분의 예시가 있는데, 면적분을 정의하기 위해 선적분에서 곡선을 정의했던것처럼 곡면에 대해서 정의하자.

---

(Surface(곡면))

곡선은 매개변수가 1개였고, 곡면은 매개변수가 2개가 된다.

 

예를 들어서, 반지름이 1인 구면은 다음과 같이 parametrized 된다. (chap 9-2 참고)

자, 그럼 위에서와 같이 dS -> S를 미분해보자.

선적분에서 ds는 곡선의 (방향을 가지는) 아주 작은 변화량이었다.

여기서 dS는 그럼 곡면의 (방향을 가지는) 아주 작은 변화량이어야 한다. 곡면의 방향은 (수직벡터)로 정해줄 수 있으므로, 곡면 위의 두 벡터를 잡아주어서 외적을 통해 수직벡터를 구해줄 수 있을 것이다.

그렇다면, 어떻게 하면 곡면 위의 두 벡터를 잡을 수 있을까?

-> 선적분에서처럼 생각하면, 곡면을 각 parameter들로 편미분한 벡터(속도벡터)들이 곡면 위에 있을 것이다. 즉, 다음 벡터들이 곡면 위에 있다.

그렇다면, 수직벡터는

이 될 것이다.

그러면 선적분에서 ds의 크기는 미소"길이" 이었으므로, 면적분에서 dS의 크기는 미소"면적"이 되어야 한다.

즉, phi와 theta가 약간 변할 때, 면적이 얼마나 변하는지 알아야 한다. 이를 위해서 다음처럼 생각하자.

즉, dS의 방향과 크기가 N과 같으면 되므로, 그냥 다음처럼 생각할 수 있다.

자 여기까지 왔으니, 선적분처럼 예시를 하나 들어보자.

여기서 저 이중적분은 2차원에서 적분함을 알리는 것이고, 아직 다루지 않았지만 그저 순차적으로 적분하면 된다. (이중적분은 다음챕터에서 다룬다.)

 

물론, 선적분처럼 곡면의 넓이를 구할수도 있다.

---

이번에는 선적분과 거의 비슷한 면적분에 관해서 알아보았다. 단지, 적분구간의 parameter가 2개로 늘어났을 뿐, 기본적인 개념은 완전히 동일하다.

 

그러나, parameter가 늘어남에 따라서 다중적분이 필요하게 되는데, 이는 다음 챕터에서 더 자세히 알아보자.