(미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function)

(해석학 참고링크)

(해석학) 22-2. 스토크스 정리에서 시작한 Potential Function의 존재성? (Exact Form, Closed Form): https://0418cshyun.tistory.com/99

(해석학) 22-2. 스토크스 정리에서 시작한 Potential Function의 존재성? (Exact Form, Closed Form)

(해석학) 22-3. Potential 함수의 존재성 -> 푸앵카레 보조정리(Poincare's Lemma): https://0418cshyun.tistory.com/100

(해석학) 22-3. Potential 함수의 존재성 -> 푸앵카레 보조정리(Poincare's Lemma)

 

 

지난 챕터에서는 적분하는 함수가 일변수함수였다. (곡선의 길이 -> f=1)

사실 일변수함수를 적분하기 위해선, "하나의" 매개변수로 표현된 곡선이나 적분구간이 필요하기 때문에, 우리는 이를 절댓값 |ds|를 이용해서 2차원 혹은 n차원 ds값을 1차원으로 내렸다.

그러나, 이미 앞의 일(Work)의 예시에서 보았듯이, 적분하는 함수가 일변수함수일 필요는 없다.

즉, 적분하는 함수는 다변수함수도 가능하고, 적분구간에서 정의만 되어 있으면 된다.

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(Vector Field(벡터장))

벡터장이란, 함수가 정의된 각 점에서 대응되는 output이 벡터인 경우이다. (즉, 다변수함수이다.)

물리에서 장(Field)의 개념이 바로 벡터장이다.

예를 들어서 물리에서 전기장의 경우, (0,0)에 전하량이 +1인 전하가 있다면 (x,y)에서의 전기장은 다음과 같을 것이다.

 

벡터장은 대부분의 경우, 전체 공간에서 정의되어 있는 경우가 많지만 (특이점(위의 경우 (0,0)) 제외) 사실 선적분을 위해서는 주어진 곡선 위에서만 정의되어 있으면 된다.

 

특히, 앞의 예에서도 보았었지만

이런 식으로 곡선 위에서의 벡터장의 선적분은, 곡선 위에서 곡선방향으로의 적분과 동일한 것을 알 수 있다!

왜냐하면 저 Fds가 그냥 곱이 아니라 내적이기 때문이다!

이를 단지 잘 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

즉, F의 곡선방향 성분을, 곡선의 normalize된 속도벡터를 이용하여 구해버리면 된다.

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여기까지 우리는 선적분을 어떻게 사용하는지에 관한 얘기를 해왔다.

그런데, 대부분 적분을 할 때는 사실 구분구적법을 이용하지 않고, 미적분학의 기본정리에 의해서 구하는게 일반적이다.

그렇다면, 선적분에서 미적분학의 기본정리는 어떻게 이루어질까???

 

이미 우리는 미분의 역연산이 적분이 되는 것을 원하는 것을 안다.

즉, (어떤 함수 f)를 미분하면 벡터장 F(R^n -> R^n)가 나오기를 원한다.

그런 (어떤 함수 f)는 어떤 꼴을 가져야 할까? -> f(R^n -> R^1)이면 된다.

 

(Potential Function (잠재함수))

이렇게, 주어진 벡터장 F에 대해서 미분하면(즉, gradient가 될 것이다.) F가 나오는 함수 f를 Potential Function(잠재함수)이라고 한다.

여기서 잠재함수의 중요한 성질 하나만 짚고 넘어가면,

 

(성질)

gradient와 등위면은 수직이다. -> F의 잠재함수의 등위면과 벡터장 F은 수직이다. 

(증명)

점 P를 지나는 등위면 위의 모든 곡선에서 P에서의 곡선의 방향과 grad f(P)가 서로 수직임을 보이면 된다.

점 P를 지나는 곡선을 X(t)라고 하면,

라고 할 수 있을 것이다.

t=0 (점 P)일 때의 곡선의 방향은 속도벡터의 방향이다. 즉, X'(0)이다.

이 때, S 위에서 f(X(t))를 미분해보자.

이 때, S 위에 있으므로 f 값은 변하지 않는다. 즉, 왼쪽 항은 0이다. 그러므로 t=0을 넣으면

즉, grad f(P)와 곡선의 속도벡터는 수직이다.

 

또한, 벡터장 F와 잠재함수 f에 대해서, F=grad f로 보면 바로 f의 등위면과 F가 수직임을 알 수 있다.

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자 이 잠재함수를 이용하면 미적분의 기본정리가 바로 나오게 된다.

 

(선적분의 기본정리)

(증명)

증명은 아주 간단하다.

그러나, 여기서 얻을 수 있는 개념은 아주 강력하다. 만일 Potential Function이 존재한다면

• 시작점과 끝점만 같으면 선적분 값이 똑같다. -> 물리학에서 보존력/보존장으로 불리는 바로 그것!
• loop를 돌면(시작점과 끝점이 같으면) 값이 선적분 값이 0

특히 시작점과 끝점이 같은 곡선을 폐곡선이라고 하고, 다음과 같이 표현한다.

 

이 때 우리는 potential function이 존재함을 가정하였다.

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(Exact Form)

Potential Function을 가지고 있다면 이 벡터장 F를 Exact Form이라고 한다. 즉,

이 될 것이다.

 

그렇다면 potential function이 없는 경우도 있는 것일까? 다음의 예를 살펴보자.

원을 따라서 선적분을 했더니, 0이 안 나오고, 2pi가 나온다...

-> potential function이 존재하지 않는다.

 

그렇다면, 언제 potential function이 존재하는 것일까?

일단, 다음과 같은 개념을 확인하고 넘어가자.

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(Closed Form)

(C1 함수이므로, 열린집합에서 F가 정의되어있으면 된다.)

사실 이 개념이 나온 이유는,

Exact Form이면, Closed Form이기 때문이다.

여기까지는 좋은데, 역이 문제이다....

 

즉, 언제 Closed Form이 Exact Form이 되는 것일까?

 

(푸앵카레 보조정리) -> 푸앵카레 추측(정리)의 일부분으로 알고 있음

open, convex set에서 정의된 Closed Form 벡터장 F는 잠재함수를 가진다.

(더 정확하게는, star shape(별모양)의 set에서 정의되면 된다.)

convex set(볼록집합)이란, 모든 점 P, Q에 대해서, 선분 PQ가 자신의 집합에 포함되는 집합을 말한다.

star shape(별꼴)이란, 모든 점 Q에 대해서 모든 선분 PQ가 자신의 집합에 포함되는 어떤 한 점 P가 있음을 말한다.

즉, 일반적으로 우리가 아는 별모양은 convex set이 아니지만(별의 꼭짓점이으면 -> 선분은 별 바깥)

P를 별의 중심에 잡으면, 다른 모든 점 Q에 대해서 모든 선분 PQ가 별 안에 있으므로 star shape이다.

 

(증명)

수식이 어렵다면, 한번 써보면서 해보자!

그러므로, 여기서 벡터장이 정의된 공간이 중요한 것을 다시 한번 알 수 있다...

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위 증명에서, 우리는 편미분을 적분 안으로 아무 저항 없이 밀어넣었는데, 사실 적분과 미분의 순서를 바꾸는 건, 마음대로 할 수 있는게 아니다.

적분과 미분의 순서를 바꾸는 것이 나온 김에 라이프니츠의 정리를 소개한다.

 

(Leibniz's Integral Rule(라이프니츠 정리))

when,

잠시 설명하고 가면,

왼쪽 식은 x로 적분했으니 적분한 결과는 t에 관한 함수이고, 그래서 그냥 d/dt이고,

오른쪽의 적분 안의 함수는 다변수함수이므로 편미분 기호를 이용하였다.

 

(증명)

여기서 uniform convergence에 대한 내용이 나오는데, 이는 해석학 내용을 참고바란다.

어렵게 생각할 건 없고, 그냥 t가 s로 갈때, psi가 D_2phi로 가는 것을 이용하였다고만 생각하면 된다.

(Note) 적분구간이 t에 대한 함수(b(t),a(t))여도 동일하게 성립한다!

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여기까지 선적분의 기본정리와, 잠재함수(Potential)에 대한 중요한 개념들을 다루어보았다.

이 카테고리에서는 그냥 이러한 개념들이 있고, 선적분에 활용할 수 있을 정도로만 설명을 하였고, 더 자세한 내용이 필요하다면, 다른 카테고리(해석학 등)을 참고하는 것이 좋다.

 

다음 챕터에서는 면적분(다중적분)에 대해서 설명하도록 한다.