(미적분학 참고링크)
(미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function): https://0418cshyun.tistory.com/34
(미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function)
지난 챕터에서는 적분하는 함수가 일변수함수였다. (곡선의 길이 -> f=1) 사실 일변수함수를 적분하기 위해선, "하나의" 매개변수로 표현된 곡선이나 적분구간이 필요하기 때문에, 우리는 이를 절
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이번 시간에는 스토크스 정리에 대해서 조금 더 들어가보도록 한다.
먼저, 스토크스 정리는 다음과 같았다.
(Stoke's Theorem)
여기서 k-form과 k-chain을 계산했어야 했던 것이 -> (k-1)-form과 (k-1)-chain을 계산하는 것으로 치환될 수 있다고 생각할 수 있다.
k가 줄어들어야 계산하기 편하기 때문에, 이러한 작업을 통해서 k를 줄일 수 있을 것 같다.
그러나, 문제는 k-form에서 (k-1)-form으로 바꾸려면
저 ?가 필요하다... -> 여기서 Exact Form의 개념을 생각할 수 있다..
(Exact Form) -> Global 성질!
여기서 lambda를 Potential 함수라고 생각하면 된다! (미적분학에서 보았다!)
즉, w가 exact form이어야 저 위의 작업을 수행할 수 있다!!
이번에는 "거꾸로" k를 늘려보자.
k를 늘려보면 -> w에 자꾸 dx dy.... 등이 추가되면서 "중복"되며 0이 되는 경우가 생긴다.
-> 그러면, 언젠가는 dw=0으로 깔끔하게 떨어지지 않을까? 라는 생각을 할 수도 있다.
(Closed Form) -> Local 성질!
그러면 Closed form에 대해서 다음과 같은 생각을 할 수 있다.
미적분학에서 한 정의와 약간 다르다고 생각할 수 있는데, 사실 미적분학에서 한 내용은 1-form인 경우이다.
이 Exact Form과 Closed Form 사이의 관계를 한번 살펴보자.
1. (Exact Form -> Closed Form)
(증명)
2. (Closed Form -> Exact Form?)
여기에 대한 이야기는 일단 보류를 해야 하는데, 미적분학에서 본 바로는 "star-shape"에서 closed form을 만족하면 exact form이 된다. -> 뒤에 푸앵카레 보조정리에서 다시!
3. (Exact Form and Boundary)
Exact form에 대해서 Boundary가 같으면, 같은 적분값을 가진다. -> 사실, 선적분의 기본정리 생각하면 된다!
-> 결국 Boundary만 중요하다...
그러므로, 만일 boundary가 없다면 (예를 들어 폐곡선) -> 적분값이 0이 된다!
4. (Boundary의 Boundary)
Boundary의 Boundary는 0이 된다....
예시를 보면서 Exact Form과 Closed Form에 대해서 더 알아보자.
1.
그런데, 이 미분형식을 unit circle을 따라서 적분해보자.
스토크스 정리를 이용해 k를 줄이려고 하면 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다.
즉, eta는 exact form이 아니다. (사실, 이는 E가 star-shape(별꼴)이 아니기 때문이다...)
또한, 반대로 k를 늘려버릴 수도 없다...
즉, Unit Circle은 어떤 2-chain의 boundary가 될 수 없다!
이와 비슷하게 unit sphere 또한 어떤 3-chain의 boundary가 될 수 없다!
미적분학에서도 본 내용이지만, Closed Form과 Exact Form 사이의 관계가 Potential 함수의 존재성을 말해주기 때문에, 아주 중요했다...
1. Exact Form = Potential 함수의 존재성
2. Exact Form -> Closed Form
여기까지는 Trivial하게 보였는데, 2번의 역
3. Closed Form -> Exact Form
을 보이는 것은 꽤나 어렵다.... 사실, Potential 함수의 존재성을 말해주는 것이기 때문에, 이것이 가장 중요하다.
다음 챕터에서 이를 증명해보자!
