이번에는 앞 챕터에서 보았던 적분구간들에서 실제로 적분을 어떻게 하는지 살펴보고, Boundary에 대한 내용에 대해서 더더더 살펴보자!
1. Simplex
먼저, k-simplex의 경우 k-surface이므로, 적분대상이 되는 미분형식은 k-form이 되어야 할 것이다...
그러면 다음처럼 적분을 할 수 있다.
(NOTE) (0-Simplex)
0-simplex는 point와 부호(sign)만 가진 것이라고 했었다. 여기서 적분을 다음과 같이 정의한다.
이를 조금 더 확장시켜보면
(Sign of Simplex -> Sign of Integral)
즉, 적분영역의 Sign이 Integral에 그대로 적용이 된다!
(증명)
저 sigma_bar가 p_i의 순서를 바꿔서 나왔다는 것을 기억하자!
-> p_0를 바꾸는지 안 바꾸는지에 따라서 증명이 바뀐다....
길게 쓰긴 했지만, 결국에 simplex에서 순서를 바꿨을 때의 부호(determinant)를 Integral이 따라간다고 할 수 있다!
2. Chain
k-chain이 k-simplex의 모음이므로, simplex처럼 동일하게 생각할 수 있다. 즉,
3. Boundary
결국 Boundary도 Chain의 일종이므로 위처럼 적분할 수가 있다.
여기서 더 나아가서, 일반적인 적분구간에 대해서 생각해보자 -> Transformation으로 적분구간을 만들 수 있다!
먼저, 적분구간의 미분가능성에 대해서 생각하자.
(C2-Simplex, C2-Chain)
즉, 두번 미분가능한(C2-mapping)으로 mapping된 simplex와 chain을 말한다.
1. C2-Simplex의 미분가능성은 그 Boundary에도 그대로 전달이 되고, (Boundary도 C2) -> T는 그냥 Transformation일 뿐이고, Boundary의 정의에 따라서 각 boundary의 성분이 그대로 mapping되면 된다!
2. Chain의 Boundary는 각 Simplex의 Boundary의 합으로 정의한다.
즉, 정리하면, 여기서의 C2-Simplex가 우리가 원했던 "일반적인" 적분구간(Domain)이라고 생각할 수 있다.
여기서, C2-simplex의 boundary에 대해서 부호(방향)를 생각해보자!
사실, 부호라고 말은 했지만 의미는 "방향"에 가깝다....
(Positively oriented boundary)
먼저, 가장 기본이 되는 standard simplex의 boundary의 부호에 대해서 정의해보자!
그러면, 위에서 나온 변환 T에 대한 내용으로 일반적인 구간의 Boundary, 그리고 T의 boundary에 대해서도 정의하자.
설명을 잠깐하자면
1. sigma_0가 identity mapping이므로.... -> 결국 적분구간은 Standard Simplex가 된다. 이 때의 boundary를 positive라고 정의하자.
2. 그러면, 우리가 원하는 적분구간 E에 대해서, Standard Simplex를 잘 움직여서 E를 만들 수 있다고 하자...
(예를 들어서 Standard Simplex는 Hole이 없는 도형이라, E가 도넛같은 구멍이 있는 구간이면 문제가 생길 것이다. -> 도넛모양을 둘로 나누어 구멍을 어떻게든 없애면 해결 가능!)
즉, standard simplex를 E로 만들어주는 1대1 대응 mapping을 T라고 하자.
T=T(sigma)와 동일하므로, sigma에 대해서 부호를 정의했으니, E와 T의 Boundary에 대한 부호도 sigma에 따라가도록 정의한다...
3. 또한, Standard simplex 전체에서 T가 1대1 대응이므로, standard simplex 전체에서 T의 inverse mapping이 존재하고, 역함수정리의 Corollary(17-1 참고)에 의해서 E가 어떤 open set의 closure가 된다. -> 결국 E는 compact 해야함... (standard simplex는 compact!) -> 적분구간에 대한 내용에 적합....
4. 또한, T가 1대1 대응이므로(즉, T가 Unique) Boundary의 적분값도 unique하다.
즉, 어떤 T로 가든간에 boundary의 부호는 고정되어 있다!
또한, 이런 E의 합집합에 대해서도 boundary를 정의할 수 있다...
->>>> 결국 simplex도 mapping!!
-> 대부분 실제 적분구간(E)에 대한 boundary라고 말하지 않고, Mapping(T)에 대한 boundary로 작성하므로 참고!
아마, 이해가 잘 안될 수도 있을텐데 예시를 들면서 설명한다.
1. 2-cell
그러면 이 2-cell은 두 집합의 합집합이 된다.
이 때의 Boundary는 각각 다음과 같다.
그림으로 보면
저기서, 공통으로 나온 부분이 방향이 달라서 서로 상쇄된다.
여기서 조금 더 나아가서,
parameter domain이 굳이 Simplex(sigma)일 필요가 있나 싶을 수 있을 것이다... -> 그럼 k-cell로 하자!
왜냐하면, 위에서 2-cell이 두 개의 simplex의 합인 것을 보였으므로 다음과 같이 설명이 가능하다.
즉, 우리가 했던 내용들 모두 k-cell로도 표현이 가능하다!
2. Sphere
우리가 배운 내용을 바탕으로 구면을 나타내보자 -> 구면의 boundary??? -> 이해가 안 될 수도 있지만, 한번 보자!
반지름이 1인 구면으로 변환하는 mapping은 다음과 같다.
즉, 구면을 나타내는 mapping이 Phi라고 할 수 있다.
그러면, 이를 이용해 구면의 boundary를 구해보자.
그림으로 나타내면 다음과 같다.
즉, Boundary는 오른쪽 그림에서 짙게 그어진 선이다.
그런데, 첫번째 boundary와 세번째 boundary의 방향이 서로 반대이므로 -> Cancel!
그리고, 두번째, 네번째 boundary는 그냥 한 점이므로 (꼭대기, 바닥 점) -> 적분할 때, 의미 없음...
그러므로, 구면의 Boundary는 0이라고 할 수 있다...
-> 예시를 보면서 혹시 이런 생각이 들 수도 있다.
"mapping에 따라서 Boundary를 구하게 되는데, 그러면 mapping에 따라서 boundary가 달라질 수도 있지 않을까???"
-> 하지만, 이에 대한 답은 위에서 나왔다. -> 1대1 대응에 T에 대해서 boundary가 unique!(위에서의 4번 내용!)
여기까지 적분구간과 boundary에 관한 내용을 다루어보았다.
아마, 글만 보면 이해가 어려울지도 모르지만, 예시를 보면서 생각해보면, 의외로 직관적으로 보일 수 있으므로, 예시를 참고하자!
다음시간에는 드디어 Stoke's Theorem에 대해서 들어간다!
'Mathematics > 해석학' 카테고리의 다른 글
| (해석학) 22-2. 스토크스 정리에서 시작한 Potential Function의 존재성? (Exact Form, Closed Form) (0) | 2023.03.22 |
|---|---|
| (해석학) 22-1. 미적분학처럼 마지막은 아니고.... (Stoke's Theorem) (0) | 2023.03.22 |
| (해석학) 21-1. 다양한 모양의 적분구간들... (Simplex, Chain, Boundary) (0) | 2023.03.21 |
| (해석학) 20-3. Change of Basis in 미분형식 (Change of Domain) (0) | 2023.03.20 |
| (해석학) 20-2. 미분형식을 미분? (Differentiation of Differential Forms) (0) | 2023.03.17 |
