(해석학) 20-3. Change of Basis in 미분형식 (Change of Domain)

이번 챕터에서는 미분형식과 Change of Basis와 어떠한 관계가 있는지 살펴보자.

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먼저, Change of Basis에서 다음과 같은 성질을 보았었다.

또한, 미분형식의 정의는 다음과 같았다.

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(Change of Basis in Differential Forms)

미분형식에서 Change of Basis를 이끌어내기 위해서 다음과 같은 w_T를 정의하자.

그러면 우리가 원하는 바는 바로 다음 정리이다!

어렵게 써놓긴 했지만, 결국엔 Change of Basis에 적분구간만 잘 정의했을 뿐이다.

(Delta는 결국에 Parameter Domain 자기 자신!)

 

(증명)

이번에도, 한개의 항만 가진 미분 형식에 대해서만 생각하면 된다.

(Notation 헷갈리지 않도록!)

그러면,

이므로 결론은

이다!

 

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지난 시간에 했던 미분형식의 성질들을 이용하면

Change of Basis에 관련된 다음 성질들을 얻어낼 수 있다.

(증명)

1. 너무 Trivial이라 생략

2. 이것도 너무 Trivial이라 생략... (dx, dy순서는 T(x)를 태워도 안 바뀐다...)

3. 

0-form 인 경우부터 살펴보자.

k-form이 되면 다음처럼 처리할 수 있다!

(NOTE) -> d(dx)=0

dx=1*dx=f*dx (f=1) -> d(dx)=0 

 

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또한, 다중 Transformation에 대해서도 생각할 수 있다. 즉,

순차적으로 Basis를 바꾼것이나, 한번에 Basis를 바꾼 것이나 동일하다!

 

(증명)

어떻게 보면 당연하다고 생각할 수도 있는 내용이지만, basis부분이 문제가 된다. (dx, dy .... -> Change!)

먼저 0-form에 대해선

그리고 1-form에 대해선

사실 모든 k-form은 0-form과 1-form의 합성으로 쓸 수 있을 것이다... 즉..

즉, 합성한 미분형식도 다중 Transformation의 성질을 만족해야 한다. 위 사실을 증명해보면

그러므로, 모든 k-form에 대해서

를 만족한다.

 

이 사실을 이용하면 Change of Basis에서 Delta로 써진 저 Domain(적분구간)을 조금 더 일반적으로 바꿀 수 있다!

(Corollary -> Change of Domain)

(증명)

위에서 이용한 Delta를 이용해서 두번 움직이면 된다!

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여기까지 미분형식의 Change of basis(Domain)에 대해서 알아보았다.

 

다음시간부턴 스토크스 정리(Stoke's Theorem)를 증명하는 것을 목표로 나아가려고 한다.

이미 미적분학에서 스토크스 정리를 보았겠지만, Domain의 Boundary를 정의하는 것이 필요하다...(미적분학에서는 대충하고 넘어갔다...) -> 다음 시간부터 알아보자!