(미적분학 참고링크)
(미적분학) 17-2. 드디어 마지막, 스토크스 정리 (Divergence, Curl in 3D, Stokes' Theorem): https://0418cshyun.tistory.com/39
(미적분학) 17-2. 드디어 마지막, 스토크스 정리 (Divergence, Curl in 3D, Stokes' Theorem)
지난 챕터에선 2차원 평면에서의 divergence와 rotation을 보았다. 이번엔 3차원 공간에서 알아보자. 정의는 2차원과 똑같다! (Divergence(발산)) (Curl) 보면 알겠지만 rotation은 curl의 2차원 버전이었다고 생
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이번 챕터와 직접적인 관련은 없지만, 스토크스 정리 및 발산 정리를 확인하고 오자!
이번 챕터에선 앞에서 언급한대로, 적분구간(즉, Parameter Domain)을 어떻게 정의할지, 특히 나중에 Boundary라는 내용을 쓸텐데, 어떻게 정의하는지 알아보도록 한다.
들어가기 전에, Affinity에 대한 내용을 보자.
(Affine Mapping)
즉, Affine mapping은 선형인데, 상수항이 추가된 케이스라고 생각하면 된다.
(NOTE)
Affine mapping은 사실 선형취급해도 상관이 없다... f(0)만 빼주면 선형이기 때문이다. -> 미분방정식에서 볼 일이 많았을 것이다.
그럼, 이제부터 여러가지 적분구간에 대해서 살펴보자.
1. Simplex
(Standard Simplex)
마름모꼴 모양인데 1사분면만 살아남은 구간이라고 생각하면 된다.
(Oriented affine k-simplex)
Standard Simplex를 Affine mapping에 의해서(선형+평행이동) 움직인 simplex이다. (k와 n이 다를 수 있다는 것을 확인하자!)
그러면,
즉, sigma를 태우면 -> 각각의 단위"방향" 벡터들이 p1-p0, p2-p0,....로 가게 된다! -> 그러면 끝점은 p1,p2,...로!
-> 위에서 (1,1)을 기준으로, (1,0) -> (3,1) / (0,1) -> (2,2)로 옮겨진다!
이렇게 되면, sigma는 p_i의 순서에 따라 달라지게 된다...
(예를 들어서 위의 예를 든다면, sigma=[(1,1),(2,2),(3,1)]로 바뀐다면 -> 빨간색 선과 녹색선이 바뀐다. -> 서로 다른 mapping과 domain)
이런 식으로 sigma가 순서에 dependent하기에 sigma가 Oriented(방향을 가짐)라고 한다.
절대적인 방향은 정하기 나름이라 매번 다를 수 있겠지만, 서로 상대적인 방향은 알 수 있다. 이 상대적인 방향을 "부호(Sign)"로 생각하자. 즉,
여기서 함수 s는 determinant를 배울 때 나오는 행이나 열 바꿀 때의 부호 바뀌는 함수라고 생각하면 된다! 그러므로 절대적인 방향도 다음과 같이 생각할 수도 있다...
즉, determinant의 값을 가지고 sigma의 부호를 정하면 된다.
(만일 det A=0이라면, 위의 예에서 빨간 선과 녹색 선이 일자로 겹치게 된다!(Dependent))
(또한, 부호가 우리가 생각하는 일반적인 숫자의 부호가 아님을 꼭 기억하자!)
(0-Simplex)
위의 k-simplex에서 k=0인 경우, 즉, 한 point가 된다...
2. Chain
(Affine Chains)
즉, Affine Chain이라는 것은, Oriented Affine k-simplex의 모음(유한개)이라고 생각하면 된다.
그리고, 여기서 집합처럼 쓰긴 했지만, 일반적으로 다음과 같이 쓴다.
(물론, 여기서의 더하기의 의미는 숫자의 덧셈의 의미는 아니다!)
3. Boundary
일단, oriented affine k-simplex의 경우를 생각해보자.
즉, 원소 하나씩 빠진 것을 다 합한 것이 boundary인데, 다음 예시를 보자.
만일 각각의 p에 원소를 대응시켜보면 다음과 같은 그림을 얻을 수 있다.
즉, 우리가 아는 그 Boundary가 나온다!
위의 그림을 보면, 각각의 Boundary의 원소에 모두 방향이 주어지게 되는데, 이에 대해서는 다음 시간에 더 자세히 알아보자!
여기까지, 기본적인 적분구간을 살펴보았는데, 너무 간단한 적분구간만 하지 않았나 싶다...
그러나, Simplex를 Mapping(Transformation)에 태워서 우리가 원하는 적분구간으로 만들 수 있으므로, 이정도면 충분하다!
다음시간부터 적분과 연관시켜서 이러한 이야기를 이어가보도록 한다.
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