(미적분학 참고링크)
(미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function): https://0418cshyun.tistory.com/34
(미적분학) 16-1. 선적분과 비슷한 듯... 면적분 (Surface Integral): https://0418cshyun.tistory.com/35
이번 챕터에서는 미적분학에서 이미 본 벡터장에 대해서 이야기 해보자.
먼저, 벡터장의 정의는 다음과 같다.
(Vector Field)(벡터장)
즉, 각 유클리드 공간에서 각 점마다 대응되는 벡터함수를 말한다.
그리고, 다음과 같은 개념들을 정의하자.
(Gradient, Divergence, Curl)
(미분 가능해야 하므로 모두 C1-mapping이라고 가정하자...)
(Rotation의 경우 Curl과 동일하다고 생각해도 무방하다! -> 다만 방향이 z축 방향...)
이 내용들과 스토크스 정리를 이용하면 다음과 같은 정리를 얻어낼 수 있다.
1. Potential Function이 존재하면(Exact Form), Curl은 0이다.
2. Curl의 Divergence는 항상 0이다.
게다가 convex와 C2-equivalent한 set에서는 역이 성립한다!(즉, Closed Form이 Exact Form이면 역이 성립)
이 성질들은 물리학에서 아주 많이 사용되니 꼭 알아두자!
(증명)
3차원인 경우만 증명한다!
1.
2.
위에서 미분형식을 미분하는 것 빼고는, 다 원소를 비교하였으므로, 원소비교에선 역으로 성립할 수 있다.
정리하면
즉, 앞 챕터에서 했던 Exact Form과 Closed Form의 관계일 뿐이다!
그러므로 역은 Convex set과 C2-equivalent한 set에서 모두 성립한다!
특히 아래 식들은 뒷 챕터에서 써먹을 예정이니 참고 바란다!
다음으로 알아볼 것은 Green's Theorem이다. -> 2차원 벡터장에 대한 스토크스 정리라고 생각해도 무방하다!
(Green's Theorem)
(증명)
그냥 스토크스 정리 쓰면 된다.
(Application of Green's theorem)
면적을 구할 때 유용할 수 있는데,
라는 사실을 이용하면 면적을 구할 수 있다.
즉, 어떻게든 Rotation을 1로 만들어보자
즉, 저 3가지 벡터장 모두 면적을 구할 수 있다!
여기서, dx^dy가 일종의 면적소 역할을 하고 있다. 이를 3차원으로 확장하면, 부피에 대해서도 똑같은 역할을 할 것이다.
그래서, Volume Element를 다음과 같이 정의하자.
(Volume Element)
그러면 이런 식으로 3차원 공간에서 스토크스 정리를 써보자.
그런데, 3차원 공간이 되면 문제가 살짝 바뀐다. 왜냐하면, 3차원 공간에 2차원 곡면이 존재할 수 있기 때문이다.
2차원 곡면은 2-surface로 정의할 수 있을 것이다.
(Surface in 3D)
이 Phi에 대해서 다음과 같은 벡터장을 정의하자!
왜 이 N이 Area Element가 되는것인지 보자!
먼저, 저 Phi의 각 점에 대응되는 점(Phi(p_0))에서 (1st-order approximating) 접하는 평면(pi)을 만들어보자!
위에서 빨간 arrow를 alpha벡터, 녹색 arrow를 beta벡터라고 할 수 있다!
(NOTE. 오른쪽의 alpha와 beta 벡터는 서로 수직일 필요는 없다!)
1. 모든 p_0에 대해서 성립해야 하므로, 모든 곡면 위의 점에서 N은 접평면과 수직이다!
2. 게다가 외적의 성질에 따라서, N_0의 크기는 저 alpha 벡터와 beta 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같다.
-> 즉, N_0의 크기는 그 점(p_0)에서의 미소접평면의 넓이라고 할 수 있다!
그러므로
라고 해도 상관없다!
3. Positive Oriented!
즉, Standard Simplex의 좌표축이 뒤바뀌지 않는다! (회전하면 standard simplex의 좌표축 순서와 일치)
----> 그러므로 면적분(Surface Integral)을 다음과 같이 정의할 수 있다!
지금까지의 설명을 따라왔으면, 어렵지 않게 이해할 수 있을 것이다.
일단, 여기까지 2차원에서의 스토크스 정리 -> Green's Theorem을 보았고,
(스토크스 정리에 따르면, 왼쪽은 1-surface 1-form / 다른 한 쪽은 2-surface 2-form) -> (k=2,m=2)
이를 3차원 공간으로 확장시키려고 했는데, 이 때, 면적분 내용이 등장했다.
즉, 위처럼 (1-surface 1-form / 2-surface 2-form) 을 원하는데, 문제는 3차원이라는 거...
(스토크스 정리에서 k=2, m=3인 경우....)
다음 챕터에선 3차원 공간에서 어떤 식으로 전개해나가야 하는지 보자!
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