이번 챕터부터 끝까지, 르벡 적분에 관한 이야기로 마무리를 지어보려고 한다.
먼저, 리만-스틸체스 적분이 어떤 문제점이 있었는지 생각해보자...
(Not Integrable Function(Riemann-Stieltjes))
왜냐하면 Partition을 어떻게 잡던지 Upper Integral=1, Lower Integral=0 이 되기 때문이다.
그러나, 직관적으로 이 적분값은 0이 되는게 맞아보인다. (왜냐하면, 무리수 개수>>유리수 개수이므로...)
그럼, 이런 식으로 적분값이 나오게 어떻게 할까???
1. 일단 Partition을 잡는 방법으로는 불가능하다는 것은 당연해 보인다... -> Partition을 어떤 식으로 잡아도 정의가 안되므로...
2. 그러면, 적분 자체가 어차피 면적을 구하는 것과 동일한 것이니까,
-> Partition을 y축으로 잘라보면 어떨까???
이런 방법이 왜??? 더 포괄적인 것일까?
a. Partition을 x축에서 자른다고 하자... 라는 말은
-> Partition의 원소마다, 함수(X->Y)가 그 근방에서 Continuous이어야 한다는 것을 포함한다.
b. y축에서 자른다고 하면...
-> Partition의 원소마다, mapping(함수가 아닐 수도 있음) (Y -> X)가 그 근방에서 Continuous이어야 한다는 것을 포함한다.
인데, 그렇다면 Continuous가 아니라는 것은 무슨 말일까 생각해보면, 저 lebesgue에서 90도 돌려서 x,y축을 생각해보자.
저기서 x축에 빈 구간이 생긴다.
이는 사실 불가능하다고 보아야 하는게, 함수의 정의에 따라서 Domain(x축)에서는 무조건 함숫값이 지정이 되어야 한다!!!
만약에 Domain이 저렇게 띄엄띄엄 정의되어 있다면... -> 각각 Domain을 나누어서 생각하면 되는 문제....
만일, f(x)가 "무리수"에서만 정의되어 있는 것처럼, 엄청나게 Domain이 잘게 나누어져 있다면? -> 그 외의 구간에서는 f(x)=0으로 놓고 확장해서 할 수도 있지 않을까????
즉, 연속함수의 한계를 Domain의 연속성(Connected Set)으로 넘겨서,
애초에 함수를 정의할 Domain을 잘 주면, 크게 문제 될 게 없다!
-->> 여기서는 연속함수고 뭐고 따질 필요가 그렇게 생기지 않는다!
(NOTE)
불연속함수의 르벡적분? -> 불연속점 근방에서 Domain은 연속이니까! -> 불연속점끼리 이어버리면 됨!
(위 그림에서 빨간 선으로 이은 것을 생각하면 된다!)
그런데, 이렇게 연속함수 문제를 넘긴 대신에, 한가지 문제가 생겨버린다.
저렇게 90도를 돌려버려서 생각하면, 저 그래프가 이제 "함수"가 아니다.....
즉, 하나의 y에서 여러개의 x로 대응이 될 것이다!
(ex. y=cos x -> y=1?? -> x= 0, 2pi, 4pi, ....)
그러므로,
리만적분에선 그냥 함숫값이었던 값이 -> 르벡적분에선 저 빨간 선의 길이로 바뀐다!
저 Partition에 들어가는 집합의 "길이"(즉, 위 그림에서 빨간 선의 길이)를 어떻게 정의하는지가 중요! -> Measure(측도)!
다음 시간부터 Measure에 관한 이야기를 통해서 르벡적분을 정의하려고 한다!
