아주아주 간단히 이야기해서, 측도(Measure)는 집합의 길이라고 생각하면 된다. 이를 기억해두고 내용을 진행한다.
측도(Measure)에 대해서 들어가기 전에, 추상대수학의 선수지식을 알아두면 좋은데, "Ring(환)"에 대한 내용이다.
(Ring)
즉, 합집합과 차집합이 닫혀있는 것이 Ring이다.
이 때, 무한합집합이 닫혀있으면 sigma-ring이라고 한다.
여기서 헷갈리면 안되는 것은
Ring의 정의만 가지고, 무한 합집합이 R에 포함되는 것은 모른다는 것이다! (해석학 앞쪽의 Set Theory 참고!)
(NOTE)
(집합의 성질만 쓰면 바로 증명이 가능하므로 증명은 생략...)
그리고 여기서 Ring의 각 원소(집합)에 대응되는 함수를 만들어보자. -> 이 Set Function을 이용해서 Measure를 정의할 것이다!
(Set Function)
여기서 additive, countably additive는 set function이 가질 수 있는 성질이다.
(NOTE)
1.
2. (Nonnegative additive)
특히, 2번 성질을 유념해볼 필요가 있는데, 우리가 set function으로 measure를 정의한다고 했는데,
이 measure는 항상 양수이고, additive해야 할 것이기 때문이다. (물론, countably인지는 고려해봐야 한다.)
여기서
잘게 쪼개서(집합은 존재해야 함! - No B-A !! ) -> 교집합이 없게 한 다음 다시 다 합치는 방법
을 잘 보자!
(만일 B-A이라면, 공집합이 되므로, 0으로 임의로 함숫값을 지정해야 할 것이다...)
이 Set Function을 이용해서 극한을 정의해보자! -> 수렴하려면, 어쩔 수 없이 Countably Additive!
(Limit of Set function in Ring)
직관적이기도 해서, 굳이 다른 설명이 필요할 것 같지는 않다.
(증명)
위의 Note2에서 했던 것처럼 접근하면 된다. (교집합 없도록 잘게 쪼갠후 합치면 된다!)
그러면, 이제 측도(Measure)를 정의해보자!
(Measure)(측도)
유클리드 공간 R^p(p차원 공간)에서
1. Interval(구간)
-> p차원 공간이니, p-cell을 생각하면 된다! (단, 닫혀있거나, 열려있을 수도....)
2. Elementary set
-> 구간의 유한개의 합집합으로 이루어진 집합을 말한다!
3. Lebesgue Measure
(일반적인 정의는 아니고, 특수한 케이스의 정의라고 생각하고 넘어가자!)
-> 구간에서의 측도는 다음과 같은 Set Function으로 정의한다.(구간이 닫혀있던, 열려있던)
(1차원에선 길이, 2차원에선 넓이....)
-> Elementary set에서의 측도는 다음과 같이 정의하자.
그런데, A를 교집합이 없도록 못 나누는 경우가 있는지를 생각해야 할 것이다.... 이를 살펴보기 위해서 다음과 같은 집합족(Family)를 생각하자. (여기서 나오는 E는 계속 쓴다!!!)
왜 그러는지 생각해보자....
(1)
(2) (sigma-ring이 아님... -> 추후 확장! (뒤에 나오는 outer measure로!)
(3)
즉, Elementary set은 구간의 finite한 합집합이므로, 중복되는 구간도 기껏해야 Finite이므로, 다 잘게 쪼개버릴 수 있다!
그러므로 Elementary set에서의 측도는 Well-Defined!(잘 정의되어 있다.)
-> 즉, 어떻게 A의 구간을 쪼개던지 항상 m(A)의 값은 동일하다!
+ 그리고 여기서 측도 m이 Ring E에서(즉, Elementary set) Additive하다는 것은 Trivial하다!!!
위에서 measure m이 정의된 Ring E가 약간 아쉽다... 왜냐면, sigma-ring이 아니기 때문이다.
어차피 우리는 무한대의 구간의 길이가 필요한 게 아니라서 조금 더 좁혀서 sigma-ring에 대한 이야기를 하고 싶다...(예를 들어서 극한에 대한 이야기를 할 수도 있으니까!)
그러면 이를 어떻게 sigma-ring으로 확장할까?
먼저, 다음과 같은 정의를 보자.
(Regular)
위 성질을 만족하는 Set Function을 Regular하다고 한다.
-> A보다 아주 약간 작은 집합과, A보다 아주 약간 큰 집합의 함숫값 차이가 거의 없는 정도로.....
(위 Note2에서 Nonnegative Additive set function은 포함관계에 따라서 부등식이 성립한다는 것을 다시 한번 상기하자!)
그러면, 다음과 같은 성질들을 얻을 수 있다.
1. 위에서 정의한 르벡측도 m은 Regular이다.
Regular 증명방법을 알아보기 위해서 한번 증명해보자!
(증명)
2. 다음과 같은 set function mu를 정의해보자!
우리가 리만스틸체스 적분에서 적분구간에 단조증가함수 alpha를 태워 보냈던 것처럼, 여기서도 비슷한 느낌으로, measure를 확장할 수 있다!
그래서 이를 조금 더 확장한 Outer Measure를 보자!
(Outer Measure)
(물론 여기서의 mu는 위의 regular에서 보았던 그 mu는 아니다.)
(저기서 mu가 추가로 regular, finite-value를 만족해야 한다는 것을 주목해보자!)
그러면 mu가 nonnegative하고, additive하므로, 다음과 같은 성질이 성립할 것이다.
이건 너무 trivial하므로 증명은 생략한다!
즉, Outer measure라는 말이 정확하게 딱 맞아 떨어지는게, E를 덮는 모든 Cover에 대해서의 infimum(최솟값)이므로 꽤 직관적으로 보인다!
이 Outer Measure는 드디어 "sigma-ring"에 대해서도 measure로서 작용할 수 있다!
(Measure in Sigma-Ring -> Outer Measure)
즉, 이 outer measure는 그냥 ring의 성질을 만족하는 곳에서는 우리가 아는 그 measure(mu)로서 작용하고, sigma-ring의 성질을 써야하는 무한합집합의 경우에는 부등식을 만족시키면서 measure의 역할을 해준다!
(증명)
1. Regular 성질과 compact 성질 -> Cover! 써보자
2.
그런데, 아직 문제가 있다.
outer measure를 sigma-ring에서 잘 쓸 수 있겠다... 는 것을 증명한 것이지,
sigma-ring에서 진짜로 outer measure가 measure 역할을 해주는지는 말 안했다...
즉, 위의 measure m에선 E라는 Ring 위에서 논리를 전개했는데, 여기선 sigma-ring이 어떻게 생겼는지 말 안했다.
다음 시간에는 이 sigma-ring이 어떻게 생겼는지, 즉, measure를 정의할 수 있는 집합은 어떻게 생겼는지 살펴보도록 하자!
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