저번 시간까지, Measure에 대한 정의를 알아보았다.
그런데, Ring에서만 정의되었고(Measure m on ring E), sigma-ring으로 확장하려고 했다. (mu*를 이용해서!)
이 Sigma-ring은 어떻게 생겼을까??? 이를 위해서 다음과 같은 정의를 보도록 하자.
(Measurable Set)(잴 수 있는 집합)
즉, A가 주어졌을 때, A로 수렴하는 Elementary set의 sequence가 존재할 때, Finitely mu-measurable이라고 하고,
이러한 것(finite mu-measurable set)의 Countable개로 만든 Collection을 mu-measurable이라고 한다.
-> 2번 조건을 만족하는 집합을 Measurable Set(잴 수 있는 집합)이라고 한다!
이 Mu-measurable한 저 M(mu)가 바로 우리가 원하는 sigma-ring이 된다.
정리하면
저 M(mu)가 sigma-ring인 것을 증명해보자!
먼저, M_F(mu)가 ring인 것을 증명하자!
(증명)
1. 먼저, 위에서 정의한 S(A,B)와 d(A,B)가 진짜로 Metric Function이 되는지 살펴보자! (물론, 뒤의 Note에서 보겠지만, 약간의 수정이 요구된다.)
(NOTE)
d의 경우에는 다음의 성질을 만족하지는 않는다...
(열린구간과 닫힌구간을 생각하면 된다...)
그런데, 앞 챕터에서 Regular 성질을 이용하게 되면, 이러한 집합들을 Equivalent하게 묶을 수 있다...
(우리가 볼 measure는 regular 성질을 만족했었다!)
즉, A와 B가 다르기는 하지만, 동일하게 본다.... -> (구간의 길이에서 열린 구간과 닫힌 구간은 별 상관 없다!)
2. 위를 이용해서 다음과 같은 성질들을 얻어내자! (차집합 성질만 이용함...)
a.
b.
c.
이 성질들을 이용하면
즉,
또한, d에 대해서도 똑같이 적용가능하므로
3. 그리고 mu*에 대해서 다음과 같은 성질이 성립함을 보이자.
4. 2,3을 이용하면 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다!
5. 4번을 이용하면 Ring(sigma-ring말고..)을 증명할 수 있다.
그리고 이 M_F(mu)에서 mu*가 additive임을 보이자! (즉, measure로 작용하는지?)
(증명)
위의 증명에서 이어진다!
자, 이어서 Finitely mu-measurable을 넘어 mu-measurable인 M(mu)로 넘어가보자.
이 때, 한가지 짚고 넘어가면 우리가 Elementary set에서 Finite한 구간으로 다 쪼갰었던 것처럼 이 M(mu)에서도 동일하게 생각할 수 있다. (물론, 지금은 Finite는 아니고, Countable개수이다...)
즉, 정의에 따라,
M(mu)에 속하는 A를 -> M_F(mu)에 속하는 원소들(Disjoint)로 죄다 쪼개놓을 수 있다. 이 때의 개수는 Countable하다.
그럼 다시 M(mu)가 sigma-ring인 것을 계속 증명해보자.
이번에 증명할 건, M(mu)가 M_F(mu)에 속한다는 것이다! (이 때, mu*값은 finite해야 한다!)
(증명)
아직은 Countably additive하다는 것을 말하기가 그런게, 아직 A_n은 M_F에, A는 M에 존재하므로, 어디서 countably additive하다고 할 수 없다.
여기서 M_F(mu)의 무한합집합이 그대로 M_F(mu)에 속한다는 것에 주목하자!(닫혀있다)
그리고 위에서 잠깐 놓친 Countably Additive에 대해서도 살펴보자!
(증명)
위의 내용을 이용하면 된다. (mu*값이 infinite일때와 아닐때로 구분...)
자, 그러면 이제 진짜로 sigma-ring임을 증명해보자!
(증명)
1. 무한합집합이 닫혀있는지 확인하자.
2. M(mu)가 Ring인지 확인하자.
합집합 조건은 위의 1번에서 바로 알 수 있다.
차집합 조건만 확인해보자.
즉, 정리해보면
여기서 알 수 있는 것은
Ring에서는 우리가 그냥 m이란 것으로 measure를 정의했었는데,
-> 이를 일반화해서 m을 mu로! (mu는 nonnegative, additive, regular, finite) (즉, mu의 종류에 m이 있는 것!)
그리고 이를 sigma-ring으로 더 넓히고 싶은데, 이 때는
-> M(mu)에서..., measure는 mu*로 정의하면 된다!
그러면, 이 M(mu)는 어떻게 생겼을까??? 여러가지 예시를 보면서 생각해보자.
1. Open set, Closed set은 M(mu)에 포함된다.
(10-1 부록을 참고 -> Base, Separable Metric Space에 대한 내용!)
10-1에서 모든 Open set은 Base의 Subcollection으로 포현된다고 했었다!
그러면, p차원 공간(Separable Metric Space)에서 Countable인 base를 다음과 같이 잡아버리자.
그러면, 당연히 이 공간에서의 open set은 Countable 개수의 base 원소로 표현이 되므로,
그리고, 여집합 관계를 이용하면
그러므로 closed set 또한 M(mu)의 원소이다!
2. Borel Set
즉, 열린 집합을 가지고, 합집합, 교집합, 여집합 연산을 Countable 횟수만큼 해서 나온 Set을 Borel Set이라고 한다.
이 때, Countable 횟수이니까, 당연히 Borel set을 모아놓은 set은 sigma-ring이 된다!
그리고 위의 1번을 이용하면(Complement에 의해 -> Closed set이 되도 상관이 없다!) Borel set이 M(mu)에 포함이 되는 것을 알 수 있다.
(참고로 open set을 Infinite(Countable)번 교집합했을 때, 이게 open set인지는 모른다고 했었다! 2-3 참고!)
3. Zero Measure
아래 성질이, mu*가 Infimum으로 정의되기 때문에 그렇다는 것을 알아두자!
정리하면
마치, regular에서 본 것 같은 성질을 얻는다...
이를 Borel set으로 확장할 수도 있는데,
epsilon=1/n, n을 무한대로 보내면 바로 위를 구할 수 있다! (Borel set이 open, closed를 모두 내포함을 상기하자!)
이게 무슨 의미를 가지는지 잠시만 보면...
-> 어떤 Measurable set A에 대해서(이는 다음 시간에 나온다.)
-> A와 아주 가까운 Borel Set(아마, 대부분 그냥 open이나, closed set을 잡을 것이다.)이 있는데, Measure의 차이가 없다!
예컨대.... lebesgue measure m의 경우
[0,1]에서의 무리수만 모아놓은 집합은 measure가 1이다... -> 왜? -> 이것과 아주 가까운 borel set은 [0,1]이 되고, 이 measure가 1이 되기 때문이다!
-> 즉, Measure를 이용할 땐, 그냥 Borel set만 가지고 놀면 된다!!!!
(마치, 리만적분할 때, 거의 연속함수만 가지고 했던 것처럼 기억하면 된다....)
특히, 나중에 다음과 같은 용어를 많이 이용할 것이다! (mu*가 유한이면, mu와 값이 같았다!)
4.
간단하게 설명하면, 저 mu의 성질 때문에... (nonnegative, countably additive) -> 계속(Countable 번을 더해도) measure가 0으로 나온다! -> sigma-ring!
5. Lebesgue measure m
a. 르벡측도 m을 가지고, countable set의 길이를 재면 항상 0이다!
-> 왜냐하면, 각각의 모든 A의 원소에 대해서, 안 겹치게 open cover를 모두 잡아버릴 수 있기 때문이다!!!
-> 이 open cover들의 반지름을 0으로 보내버리면...?
b. Uncountable set이어도, measure가 0일 수 있다! -> Cantor set....
Cantor set에서 n번째 단계의 길이를 재보면 -> (각 단계에서 계속 1/3씩 빠진다...)
Cantor Set은 이러한 단계들의 교집합이었으므로,
여기까지, Measure에 대해서 알아보았다.
특히, lebesgue measure m과 더 일반적으로 나온 mu와 헷갈리지 말고,
(mu - Ring)
(mu* - sigma-Ring)
의 관계를 이해하기 바란다.
다음시간에는 함수를 재보자! (Measurable Function)
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