이번 챕터부턴, 르벡 적분(르베그 적분)에 관해서 설명을 해볼까 한다...
먼저, 정의를 하기 위해 다음과 같은 몇가지 내용들을 살펴보자.
(Characteristic Function)(특성 함수)
(Simple Function)(단순 함수)
즉, 함수의 치역 원소가 Finite개수라면 Simple Function이라고 한다.
이 두 가지 내용을 이용하면, Simple Function은 특성함수의 Finite Linear Combination으로 쓸 수 있다.
즉,
그러므로, 둘 사이의 Measurable의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.
즉, 우리는 지금
Characteristic Function -> Simple Function으로 확장했다...
(마치, 집합에서 (구간) -> (Elementary Set)으로 확장한 것처럼!)
그럼, 집합에서 Elementary set -> Measurable Set으로 확장했던 것처럼, 여기서도 일반 Function으로 확장해보자!
(General Function -> Approximation of Simple Functions)
즉, 일반 함수 f를 Simple Function으로 근사시킬 수 있다!
2번에서 monotonically increasing simple function이라는 것은
각 simple function이 monotonically increasing이라는 것이 아니라, x를 고정시켜놓았을 때, n이 커짐에 따라서 s_n(x)가 커짐을 의미한다.
(증명)
먼저, Simple Function으로 근사시킬 수 있다는 것을 보이자!
즉 위의 그림에서 n이 커질수록(시간이 갈수록) n보다 작은 부분이 더 잘게 쪼개지므로, f에 수렴한다!
1번(Measurable)의 경우, Measurable function의 정의에 따라서, Trivial
2번의 경우, 위 그림을 보면 된다! -> 더 잘게 쪼개지므로, Monotonic Increasing Sequence!
3번의 경우 Bounded이면, n이 커질수록, 더 잘게 쪼개지므로, 당연히 Uniformly Converge가 가능하다!
(만일, Unbounded라면, inf로 가는 곳이 Uniformly Converge가 안 되게 될 것이다...)
즉, 어떤 함수던지, Simple Function으로 근사가 가능하다!
이제, Lebesgue Integral(르벡 적분, 르베그 적분)을 정의해보자!
(Lebesgue Integral)
1. f가 nonnegative인 경우
2. f가 일반적인 경우(may negative)
3. 적분가능성!
적분값이 Finite하면, 르벡적분가능하다고 한다!
(NOTE)
물론, 이 정의를 이용하면, 적분값이 Infinite하게 갈 수도 있다.(이 때도, 정의에 따라 구할 수는 있다.)
그러나, 적분불가능하다고 말한다.
위의 정의를 본다면, 다음 성질들은 Trivial하다.
여기까지 르벡적분의 정의에 대해서 보았다.
함수를 Simple Function으로 근사시킨다는 내용만 이해했다면, 별로 어려울 것 없는 정의이다.
다음 챕터에선 르벡적분의 성질들을 조금 더 살펴보자!
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