이번 챕터에서는 Simple Function s와 f를 넘나들기 위해서 극한에 대한 이야기를 하려고 한다.
(NOTE)
사실, 르벡적분이 리만적분을 포함하기 때문에, 여기 나온 성질 모두 리만적분에서도 해당이 되는 사항이라는 것을 알아두자!
아주 자주 쓰는 성질이 바로
f가 nonnegative function이면, Simple Function들로 f에 수렴하는 수열(monotonic increasing 하도록!)을 만들 수 있다는 것이다!
문제는 Simple Function에서는 쉽게 Manipulate 가능하지만, f는 limit이 걸리기 때문에, 그렇게 쉽지 않다는 것이다.
그러면, 이 문제를 해결하기 위해서 어떻게 접근할까???
-> f가 르벡적분가능하면, Finite한 값을 가진다고 했으니, 단조수렴정리처럼 써버리자!!
(Lebesgue's monotone convergence theorem)
(Note. 저기서 f(x)는 infinity값을 가질 수도 있다고 하자!)
(증명)
수렴값에 infinity값이 포함된다는 것을 유의하자!
만일, E_i의 관계가 이해가 안되면, E_i의 두번째 정의를 생각하면 쉽다! (s는 고정되어 있다!)
단조수렴정리 같이 보이지만, 사뭇 다른 전개인 것을 확인할 수 있는데, 여기서 수렴성을 보장해주는 것은 Compact의 느낌이 아니라, Countably Additive 성질이라는 것을 알 수 있다. -> 즉, Sigma-ring이 중요하다!
그러나, 이것만 봐서는 저 정리를 어디에다 써먹을지 감이 잘 안 잡힐 것이다. 다음 내용을 보자.
(Sum of Integral)
혹시나 당연시하다고 여겨서 넘어갔다면, 다시 한번 생각해보자... 만일 혼자서 증명한다고 생각했을 때, Simple Function으로 근사하면 된다고 생각했겠지만, f로 넘어갈 때, 뭔가 찝찝하게 넘어갈 것이다.
(증명)
1.
2.
3. 이러한 식으로 f_1,f_2의 부호를 각각 다 나눈 후, 다 더해버리면, f_1과 f_2의 부호에 상관없이, 우리가 원하는 결과가 나온다!
(Corollary)
nonnegative이므로, 급수로 그대로 적용될 수 있다! (합의 수렴성 때문에, 위의 두 정리가 모두 필요하다!)
또한, 합에 대한 내용을 보았으므로, 리만적분과의 비교를 위해서 다음 성질들도 잠시 살펴보자.
특히 2번을 주목하자! (르벡적분 가능한 함수로 Bounded -> 르벡적분 가능!)
(증명)
1. 위처럼 f의 부호를 쪼개자!
2.
위의 Lebesgue's Monotone Convergence Theorem에서 저 Monotonic을 조금 더 일반화 할 수 있을까???
-> Lebesgue's Dominated Convergence Theorem!!
이를 보기 위해서 일단 Fatou's Theorem을 보자!
(Fatou's Theorem)
즉, 저 liminf를 밖으로 빼면, 더 커지는 것을 알 수 있다.
(Uniform convergence에서 lim과 적분순서를 그냥 바꿀 수 있던 것과 비교해보자!)
-> 이 성질은 사실 리만적분에서도 그대로 적용 가능하므로 Uniform Convergence가 아닌 경우, lim과 적분순서를 바꿀 때에 일어나는 조금 더 일반적인 정리라고 생각할 수 있다!
(증명)
Lebesgue's Monotone Convergence Theorem을 이용하면 된다.
그럼, Monotone Convergence Theorem를 일반화한 Dominated Convergence Theorem을 보자.
(Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)
이번에도 Uniform Convergence와 비교해보자.
f_n이 굳이 Uniform Convergence가 아님에도 불구하고, lim과 적분순서를 바꿀 수 있다!
즉, Convergence Radius g가 어떤 르벡적분가능한 함수 안에 있다면, lim과 적분순서를 바꿀 수 있다! (Uniform Convergence처럼)
(NOTE)
Uniformly Bounded를 기억해보자! -> 딱 위의 정리이다!
이 때, {f_n}이 uniformly bounded, convergent인데, 이를 한번에 boundedly convergent라고 부른다.
(증명)
일단 위의 내용들을 이용해 f_n,f이 르벡적분 가능하다는 것을 보이자.
Fatou's Theorem을 두 번 이용해서 limsup, liminf가 같다는 것을 보이면 된다.
(Note)
위의 증명과정을 보면 알겠지만, f_n -> f 수렴성이 Almost Everywhere on E 이어도 상관이 없다!
정리하다보니, 르벡적분에서 단조수렴정리처럼 쓰려고 했더니
1. 단조만 있으면....
2. bounded만 되면....
lim과 적분순서를 바꿀 수 있다는 것을 알았다.
뭔가 더 일반적이라고 느껴진다....
다음 시간에는 르벡적분과 리만적분과의 관계성을 알아보자.
'Mathematics > 해석학' 카테고리의 다른 글
| (해석학) 29-1. 르벡적분 -> 함수공간 (Lp-Space) (0) | 2023.04.03 |
|---|---|
| (해석학) 28. 르벡적분과 리만적분 (Relation btw Lebesgue and Riemann) (0) | 2023.04.02 |
| (해석학) 27-2. 르벡적분의 성질 (Almost all, Measure zero) (0) | 2023.04.01 |
| (해석학) 27-1. 드디어 르벡 적분의 정의(Definition of Lebesgue Integral) (0) | 2023.04.01 |
| (해석학) 26. 함수를 재보자! (Measurable Functions) (0) | 2023.03.31 |
