(해석학) 29-1. 르벡적분 -> 함수공간 (Lp-Space)

(참고)

 

(해석학) 8-5. 아직 좀 부족한데....? (Improper Integral, Space of Riemann-Integrable ftns): https://0418cshyun.tistory.com/67

(해석학) 8-5. 아직 좀 부족한데....? (Improper Integral, Space of Riemann-Integrable ftns)

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이번 시간에는 리만적분에서 했었던 함수공간에 대한 이야기를 계속 이어나갈 것이다.

 

리만적분에서 함수공간을 다뤘을 때, 마지막에 리만적분가능한 함수공간은 -> Complete가 아니라고 했다!!!

그러면, 르벡적분을 이용한 함수공간은 어떻게 될까 -> 결론적으로 Complete Space(완비공간)가 된다!

 

먼저, 리만적분가능한 함수공간을 확장해서 르벡적분가능한 함수공간을 정의해보자!

(Lp-Space)

(NOTE)

f가 Complex-valued function으로 조금 더 일반화 된 것을 확인하자!

(NOTE)

더 나아가 p가 그냥 실수인 경우도 정의하게 된다. -> p 따라서 공간의 특성이 약간씩 달라진다!

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일단, 가장 많이 사용하고, 특성이 좋은 L2-space에 대해서 생각해보자!

이 공간이 Complete임을 보이기 위해서 다음과 같은 성질들을 확인하자.

(Schwartz Inequality) -> 내적!

(증명)

리만적분때와 동일하게 증명한다!

 

그리고 삼각부등식도 성립한다!

(Triangular Inequality)

(증명)

 

(NOTE)

내적은 L1-norm인데, L2-space에서의 내적?이라고 생각할 수도 있다.

그러나, 내적의 정의 자체가 -> 내적 => "실수 or 복소수"로 나오면 되므로, 상관 없다!

(벡터의 내적이 벡터가 아니라 실수 or 복소수 라는 것을 생각하자!)

 

여기에 더해서 L1-space와 L2-space간의 관계를 살펴보면....

예를 들어서,

1/n은 발산하고, 1/n^2은 수렴한다는 점을 좀 이용해보면

이라는 것을 알 수 있다.

그러나, 만일 적분구간이 Finite Measure라면,

이다.

왜냐하면, 위의 내적을 이용한다면 다음과 같은 식을 얻을 수 있기 때문이다.

그러므로 "Finite Measure"를 가질 때, L2-space는 L1-space에 속해있다고 할 수 있다.

 

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그렇다면, L2-norm은 깔끔하게 그냥 Norm으로 쓸 수 있는가를 생각해보면, 문제가 하나 있다...

이 성립하지 않기 때문이다....

그러나, "Almost All"이란 개념을 생각해본다면

이 두 함수를 같은 것(동등한 것)으로 본다면, 위의 문제도 해결이 되기 때문에

Measure Zero를 무시한다면(즉, 두 함수를 동등하게 본다면) L2-Space는 Metric Space가 된다! (metric은 L2-norm)

 

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또한, 우리가 리만적분에서 보았던 것처럼 다음 성질을 가지고 있다.

(Dense in L2 -> Continuous Function Space)

즉, 모든 L2-space의 원소에서 (l2-norm sense로) 아주 가까이에 있는 Continuous Function을 잡을 수 있다!

 

(증명)

1. 먼저, Characteristic Function이 L2 sense로 continuous function에 근사할 수 있는지 보자!

2. Simple Function도 그러면 L2 sense로 continuous function에 근사가능! -> 일반 Function!

그러므로 L2-space에 있는 어떤 f도, continuous function에 근사할 수 있다!

 

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일단 여기까지, L2-space에 관한 성질들을 보았고, 다음 시간에는 조금 더 나아가서 Complete Space라는 것을 보이자!