(해석학) 27-1. 드디어 르벡 적분의 정의(Definition of Lebesgue Integral)

이번 챕터부턴, 르벡 적분(르베그 적분)에 관해서 설명을 해볼까 한다...

 

먼저, 정의를 하기 위해 다음과 같은 몇가지 내용들을 살펴보자.

(Characteristic Function)(특성 함수)

(Simple Function)(단순 함수)

즉, 함수의 치역 원소가 Finite개수라면 Simple Function이라고 한다.

 

이 두 가지 내용을 이용하면, Simple Function은 특성함수의 Finite Linear Combination으로 쓸 수 있다.

즉,

그러므로, 둘 사이의 Measurable의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

즉, 우리는 지금

Characteristic Function -> Simple Function으로 확장했다...

(마치, 집합에서 (구간) -> (Elementary Set)으로 확장한 것처럼!)

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그럼, 집합에서 Elementary set -> Measurable Set으로 확장했던 것처럼, 여기서도 일반 Function으로 확장해보자!

 

(General Function -> Approximation of Simple Functions)

즉, 일반 함수 f를 Simple Function으로 근사시킬 수 있다!

2번에서 monotonically increasing simple function이라는 것은

각 simple function이 monotonically increasing이라는 것이 아니라, x를 고정시켜놓았을 때, n이 커짐에 따라서 s_n(x)가 커짐을 의미한다.

 

(증명)

먼저, Simple Function으로 근사시킬 수 있다는 것을 보이자!

즉 위의 그림에서 n이 커질수록(시간이 갈수록) n보다 작은 부분이 더 잘게 쪼개지므로, f에 수렴한다!

 

1번(Measurable)의 경우, Measurable function의 정의에 따라서, Trivial

2번의 경우, 위 그림을 보면 된다! -> 더 잘게 쪼개지므로, Monotonic Increasing Sequence!

3번의 경우 Bounded이면, n이 커질수록, 더 잘게 쪼개지므로, 당연히 Uniformly Converge가 가능하다!

(만일, Unbounded라면, inf로 가는 곳이 Uniformly Converge가 안 되게 될 것이다...)

 

즉, 어떤 함수던지, Simple Function으로 근사가 가능하다!

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이제, Lebesgue Integral(르벡 적분, 르베그 적분)을 정의해보자!

 

(Lebesgue Integral)

1. f가 nonnegative인 경우

2. f가 일반적인 경우(may negative)

3. 적분가능성!

적분값이 Finite하면, 르벡적분가능하다고 한다!

(NOTE)

물론, 이 정의를 이용하면, 적분값이 Infinite하게 갈 수도 있다.(이 때도, 정의에 따라 구할 수는 있다.)

그러나, 적분불가능하다고 말한다.

 

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위의 정의를 본다면, 다음 성질들은 Trivial하다.

 

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여기까지 르벡적분의 정의에 대해서 보았다.

함수를 Simple Function으로 근사시킨다는 내용만 이해했다면, 별로 어려울 것 없는 정의이다.

 

다음 챕터에선 르벡적분의 성질들을 조금 더 살펴보자!