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-곡선-
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(해석학) 8-4. 적분과 미분과의 관계는? (Fundamental Theorem of Calculus, Curve)
이번 챕터에서는 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)와 적분 나머지 파트들을 정리할 것이다. 먼저, 미적분학의 기본정리부터 살펴보자. (적분과 미분과의 관계) 특히, 2번이야 워낙에
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지난시간에는 다변수함수의 적분, 특히 적분 구간에 다변수함수가 들어갈 수 있다는 것을 설명하였다.
이번에는 구간에 들어가는 다변수함수의 예를 생각해보려고 한다.
이 때, 구간에 들어가는 다변수함수가
1. 곡선이면 -> 선적분(Line Integral)
2. 곡면이면 -> 면적분(Surface Integral)
이라고 부른다.
이번챕터에서는 선적분에 대해서 이야기할 것이다.
1. 선적분(Line Integral)
먼저, 가장 간단하게 생각할 수 있는 것은 적분 구간이 x축인 경우일 것이다.
이를 조금 더 확장해서, 임의의 선에서 적분을 한다고 생각하자.
이해가 잘 안 가는 사람들을 위해서 예를 하나 들어보자.
물리학에서 일(Work)을 생각해보자.
2차원 공간에서, 물체가 x축으로만 움직인다면 일은 다음과 같이 정의되었었다.
물체가 2차원 공간을 자유롭게 움직일 때는 어떻게 바뀔지 생각해보자. 그러면 이 때 일을 구하기 위해서는
- 1. 물체가 이동하는 위치의 함수(Curve)를 알아야 할 것이고 (즉, 각 시간마다의 물체의 위치)
- 2. 물체의 각 위치에서의 힘 F를 알아야 할 것이다.
x초 후 물체의 위치가 s(x)라면
우리의 예시에서는 2차원 평면에서 움직이므로 n=2가 될 것이다.
이렇게 물체가 움직이는 위치를 기술한 다변수함수가 곡선(Curve)이 된다.
(Curve(곡선))
s(x)의 x는 x축 위의 점을 뜻하는 것이 아니라, 단지 매개변수(Parameter)(위의 예시에선 시간)일 뿐이다.
간단한 예시로, 원을 예로 들면,
위의 예에서 곡선이 시계 반대방향(Counter clockwise)으로 방향을 가짐을 알 수 있을 것이다.
곡선은 다변수함수의 일종이므로, 미분의 관한 내용도 똑같이 적용된다.
이 때, 만일, 저 매개변수를 시간 t로 놓는다면
s'(t)는 속도벡터, s''(t)는 가속도벡터가 될 것이다. (다만, s가 (한번 or 두번) 미분가능해야 함)
또한, 주어진 그래프를 표현하는 곡선은 여러 가지이다. 위의 예를 든다면
이 두 개의 곡선 또한, 원을 표현한다. 다만 s-는 반대방향, s_1은 원을 두 바퀴 돌 것이다.(단, s_1의 경우에는 겹치기 때문에, 원래의 곡선하고 일치하지는 않는다. -> 0<=theta<pi로 범위를 잡으면 된다.) 이러한 방식으로 곡선을 다시 정의하는 것을 재매개화(reparametrization)이라고 한다.
이 재매개화는 결국 위의 예시에서 theta를 어떻게 잡는지에 따라서 바뀌는데, 이를 일반적으로 확장해서 생각하면
라고 생각할 수 있다. 함수 g는 일변수함수이고, 역함수가 존재해야 한다.(즉, g'=0인 지점이 없다.)
사실, 간단히 생각해보면 역함수 존재 이유가 왜 필요한지 알 수 있는데,
예를 들어 I:0<=x<1, J1:-1<x<1이고, g(x)=x^2이라고 하자.
그러면 원래의 곡선은 s(0)~s(1)까지이고, J1을 이용한 새 곡선을 보면 s(1)~s(0)~s(1)이 될 것이다. 즉, 그래프만 보면 곡선이 일치할 수도 있지만, 새 곡선은 (두 개가) 겹쳐있다. 그러므로, J -> I로 mapping할 때, 1-1 corresponding이 되어야 한다.(역함수 존재 조건)
(Note) 재매개화를 해도, 곡선이 가진 특성(길이, 곡률)은 변하지 않는다.
다시 일의 예시로 돌아가서
물체가 2차원 공간을 자유롭게 움직일 때 물체가 이동하는 선(Curve)은 우리가 곡선(s(t))으로 표현하면 된다는 것을 알았다.
각 지점의 힘(벡터) F는 그러면 이 매개변수(parameter)에 따라서 표현되면 될 것이다.
이를 적분기호로 표현하면 다음과 같다. (두번째 줄에서 곱이 아니라 내적이다!)
(integral 아래의 s는 곡선 s 위에서 적분한다는 의미이다.)
사실, 우리가 앞 챕터에서 본 바와 같이 저 ds는 실제로 곡선에서의 Partition으로 볼 수 있으므로,
다변수함수에서 본 s'(t)의 정의(미분의 정의 -> 여기서도 실제 s의 변화량과 t의 변화량)에 따라서 다음과 같이 변화한다.
아래에서 마치 치환적분법처럼 바뀌는 것을 확인할 수 있을 것이다. (실제로 그냥 치환적분법임)
여기서 주목할 건, ds가 벡터라는 것이다.
그러므로 일은 다음과 같이 구할 수 있다.
자, 이런 식으로 정의된 곡선 위에서 적분을 하는 것을 선적분(Line Integral)이라고 한다.
(Note) 좌표계 변환을 이용하여 곡선 위의 좌표계로 옮긴다면 더 깔끔하게 정리할 수 있는데, 한번 다음과 같이 생각해보자.
여기서 s_s, s_n는 각각 곡선의 방향 성분, 곡선의 수직(normal) 방향 성분을 뜻한다. 그러나, 당연히 곡선은 1차원이기 때문에, 곡선에 수직인 성분은 0이다. (s_n=0)
즉, 좌표계를 곡선에 평행한 성분, 곡선에 수직인 성분으로 나타낸 것이다. (물론 기존에 해왔던거처럼, x,y로 쪼개도 상관은 없다. 다만, F가 물체가 움직이는 방향(곡선방향)으로만 유효해서 이런 방식으로 쪼갠 것이다.)
그러므로, 위의 일은
자, 위에서는 F가 2차원 벡터함수이기 때문에 꽤나 복잡하게 보일 수도 있는데, 더 간단한 예시를 하나 들어보자.
(곡선의 길이)
ds가 실제로 곡선에서의 Partition이라면, 우리는 곡선의 길이를 다음과 같이 표현할 수도 있을 것이다.
즉, 조각난 partition의 길이를 다 합하면 곡선의 길이가 될 것이다.
예를 들어서,
의 길이를 구해보자.
우리가 원하는 곡선을 다음과 같이 표현할 수 있다.
그러면 다음의 과정을 통해서 곡선의 길이를 계산할 수 있다.
다음 시간에는 선적분에 대한 이해를 더 높이기 위해 선적분의 다양한 응용을 살펴보도록 하겠다.
