(해석학 참고링크)
-리만-스틸체스 적분-
(해석학) 8-1. 적분을 제대로 정의해보자! (Riemann-Stieltjes Integral):https://0418cshyun.tistory.com/63
(해석학) 8-1. 적분을 제대로 정의해보자! (Riemann-Stieltjes Integral)
(미적분학 참고링크) -적분의 정의- (미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?): https://0418cshyun.tistory.com/20 (미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?) 첫번째 챕터에서 언
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첫번째 챕터에서 언급한 바와 같이, 우리는 고등학교 때에 LIMIT(극한)에 대한 정의를 그냥 스리슬쩍 넘어갔었고, 그래서 찝찝한 마음을 가진채로(심지어 증명도 안한채로) 극한에 관한 정리를 사용해왔다.
극한하면 떠오르는 것이 몇가지 있겠지만, 가장 대표적인 것이 "미분" 일 것이다.
또, 우리는 (고등학교에서) 부정적분의 정의를 미분의 역연산이라고 하였다. 그리고, 정적분은 구분구적법 혹은 미적분학의 기본정리를 이용해서 정의를 하였다.
구분구적법은 아래에서 설명하겠지만 (고등학교 때 배운걸로는) 약간의 문제점이 있고,
미적분학의 기본정리를 이용하기 위해서는 미분을 제대로 정의했어야 하는데, 그렇지 않았다.
즉, 적분을 제대로 정의한 적이 없었다...
부정적분이야 이제 미분을 제대로 정의했으니까 상관은 없겠지만,
정적분을 어떻게 정의하고 확장할지, 우리가 기존에 알던 개념과 한번 비교를 해보자.
1. 구분구적법의 문제점
이 식은 우리가 아주 잘 알고 있는 구분구적법으로 정적분을 정의하는 방법이다.
(x=0부터 x=1까지 n등분하여 조각난 직사각형들의 합) 을 n이 무한대로 갈 때의 값 이라고 할 수 있겠다.
그런데, 이게 과연 잘 정의되어 있는 것일까???
예를 하나 들어보자.
물론 위에서 정적분을 정의할 때, 연속함수에 대해서만 정의를 했었지만, 만일 이를 확장한다고 하였을 때,
저 위의 정의를 이용한다면, 정적분의 값은 0이 될 것이다.
그런데... 뭔가 이상하지 않은가?
0부터 1까지 유리수인 수(Countable set)보다 유리수가 아닌 수(Uncountable set)가 훨씬 더 많은데, 정적분을 계산하면 1이 나와야 더 맞는 얘기인듯 싶다....
사실은 이는 르벡 적분의 필요성에 대한 이야기이지만, 일단 여기서는 구분구적법 자체가 저 n등분(유리수)이라는 말 때문에 문제를 일으킬 여지가 많다는 것만 알아두자.
그러면 이를 해결하기 위해서 어떻게 해야 할까?
일단, 저 n등분이라는 말을 -> 임의로 n개로 쪼갠다 라는 것으로 바꿀 수 있지 않겠는가?
사실, 저 임의로 잘게 쪼갠다는 표현을 수식으로 나타내는 게 조금 어려울 수도 있다.
이는 나중에 해석학에서 리만-스틸체스 적분을 다루면서 알아보겠지만 여기서 잠시 설명하면 아래와 같다.
일단, 저 n개로 쪼갠다라는 것을 정의하기 위해서 Partition이라는 것을 정의한다.
a, b사이를 x_1,x_2,...,x_(n-1) 로 쪼개고, 그 사이의 간격을 delta로 표현한 것이다. 즉, partition P는 a,b를 임의로 n개로 쪼갠 것이다. (간격이 같을 필요가 없다.)
구분구적법에서는 f값을 잡을 때, 구간의 왼쪽부분이나 오른쪽부분을 이용하였지만, supremum과 infimum을 배웠다면 굳이 애매한 끝 값을 잡지 않고, 각 구간에서의 supremum, infimum을 잡는다.
주어진 partition P에 대해서 U는 최댓값(supremum)으로, L은 최솟값(infimum)으로 보여질 것이다.
이 때, 다음과 같이 정의하면
즉, 모든 P에 대해서 가장 작은(infimum) U를 upper integral로, 가장 큰(supremum) L을 lower integral로 정의하고
만일, 이 두 값이 같다면, 적분(리만적분)을 다음과 같이 정의한다.
어쨌든, 여기서 말하고 싶은 것은 정적분의 dx가 단지 x에 대해서 적분하라는 말이 아니라 실제로 각 구간 사이의 간격에 대응된다는 것이다. (미분할 때, dy/dx에서 나온 dy, dx와 비교해보자!)
그래서 우리는 다음의 정적분을 이러한 관점에서 다시 볼 수 있다. (적분값이 존재한다는 가정 하에서)
(기존) f(x)를 x=0부터 x=1까지 n등분을 하여 x에 대해서 적분하여라
(변경) x=0부터 x=1까지 아주 잘게 Partition으로 나누어 각 구간의 f(x)*(delta)x를 구해서 그 합을 구하여라. (구분구적법을 임의의 partition으로 변경!)
2. 다변수 함수에서의 적분
더 나아가, 굳이 x에 대해서만 적분할 필요가 없다. 즉, partition을 잡을 때, 어떤 함수(g(x))에 대해서
이런 식으로 구간에 g(x)를 태워 보낼 수도 있다.(물론 아무 g(x)나 다 가능하진 않고, 적어도 단조증가/감소 이어야 한다.) 이런 식으로 구간에 함수를 태워서 정의된 적분을 리만-스틸체스 적분이라고 한다. (더 자세한 내용은 해석학 내용 참고)
우리는 다변수 함수를 다룰 건데, 그러면 저 구간(g(x))에 다변수함수도 태울 수 있지 않을까??
실제로, 저 g(x)에 다변수 함수를 태울 수 있고, 그 예시 중 일부가 선적분과 면적분이 된다.
다음 챕터부터 선적분과 면적분에 대해서 알아보도록 한다.
