(미적분학 참고링크)
-적분의 정의-
(미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?): https://0418cshyun.tistory.com/20
(미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?)
첫번째 챕터에서 언급한 바와 같이, 우리는 고등학교 때에 LIMIT(극한)에 대한 정의를 그냥 스리슬쩍 넘어갔었고, 그래서 찝찝한 마음을 가진채로(심지어 증명도 안한채로) 극한에 관한 정리를 사
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미적분학 내용 보고 오시면 이해하는데 더 좋아요!
이번 챕터에선 Riemann-Stieltjes Integral(리만-스틸체스 적분)을 제대로 정의하려고 한다.
위의 미적분학 링크에서도 볼 수 있지만, 기존에 구분구적법을 이용하면 정의를 확장하였을 때, 문제가 생기는 것을 알았다...(물론, 연속함수(정확히는, piecewise-continuous)면 크게 문제는 될 게 없다.)
먼저, 구분구적법에서의 "등분"이란 구속조건을 없애기 위해서 Partition이라는 것을 정의하자!
(Partition)
Partition이란, 그저 끝점이 a,b인 단조증가수열이라고 생각해도 상관이 없다!
구분구적법에선 등분해서 각 x 지점을 찍었다면, 여기선 Partition의 원소로 나누어 x 지점을 찍을 것이다!
자, 그럼 이제 Riemann Integral(리만 적분)을 정의하자.
(Riemann Integral)
여기까지 리만 적분을 정의하는데에 필요한 것들이고, 리만 적분은
(참고로, 저 위의 f가 R의 원소라는 것을 주목하자! -> R은 리만적분가능한 함수로 만든 space이다!)
1. 먼저, f는 연속일 필요가 없다는 것을 확인하자! -> 구분구적법보다는 일단 낫다!
2. f가 bounded라는 조건이 중요한데(즉, 무한대로 발산하지 않는다!)
즉, f가 bounded라면, upper(lower) integral이 실수에 존재한다!
(Riemann-Stieltjes Integral)(리만-스틸체스 적분)
리만적분에서와 동일하게 주어진 함수 f, partition P에 대해서
단지, 구간에 a(x)를 태웠을 뿐이다!
즉, 리만-스틸체스 적분은 x가 아니라, a(x)에 대해서 적분하는 것이다!
(다만, 여기서 a(x) 자체가 partition이 되어야 하므로, monotonically increasing 조건을 붙였다.)
-> 물론, 증가/감소 구간을 다 나누어서 계산하면, a(x)전체가 monotonic일 필요는 없다.
또한, a(x)=x이면, 그냥 리만 적분이다.
게다가 하나 더 보자면,
f가 적분가능하면 적분값은 무한대가 절대로 나올 수 없다는 것이다!
(Upper, Lower Integral이 실수 안에 존재해야 했음을 기억하자)
여기까지 리만적분, 리만스틸체스적분에 관해서 살펴보았는데,
Partition에 관한 내용을 그림으로 확인하자!
Partition P는 임의로 잡는 것이기 때문에, 등분에 대한 문제는 일단 해결된다.
그러나, P를 잘게 잡는다고 해도, 항상 리만적분이 가능하지는 않다는 것을 확인하기 바란다!
-> 한쪽에만 점이 몰릴 수가 있다!
그리고 저렇게 임의로 P를 잡으면, 논리를 전개하기가 약간 애매해지는 것도 사실이다...
그래서 Partition을 더 잘게 나누는 방법을 생각해보자! -> Refinement of Partition
(Refinement of Partition)
즉, Partition P가 주어져 있다면, P*는 P의 원소 그대로 가지고 있고, P에서 더 잘게 나눈 것이다!
또한, Common Refinement는 다음과 같을 것이다.
먼저 Refinement와 Upper(Lower) Integral에 대한 관계를 생각해보자.
(Refinement and Upper(Lower) Integral)
1.
즉, 더 잘게 쪼개면 쪼갤수록 L값은 더 증가하고 U값은 더 감소한다.
(증명)
사실 그림으로 보면 간단하다!
더 쪼개면 -> L은 증가! U는 감소!
2.
위의 L과 U를 이용해서 Upper Integral, Lower Integral을 구할 때, 모든 Partition에 대해서 inf, sup을 취했었다...
즉, 임의의 Partition을 이용하였는데,
Partition P1을 이용한 L값: L1=L(P1,f) , Partition P2를 이용한 L값: L2=L(P2,f) 이라고 하자.
그런데, P1, P2를 더 잘게 쪼갠 Common Partition P를 생각해보자.
그러면 L(P,f)>=L1, L2
그런데, Lower Integral은 sup을 취한 값이었으므로 결국
어떻게 Partition을 쪼개든간에 -> 잘게 쪼개기만 하면(Refinement) sup 값을 구할 수 있다!
(물론, 적분이 가능한가는 다른 문제이다!)
Refinement를 이용한 적분을 그림으로 생각하면 다음과 같다.
3. (Upper Integral and Lower Integral)
또한, 이름에 걸맞게 Upper Integral과 Lower Integral은 다음과 같은 관계를 갖는다.
(증명)
여기까지, 리만스틸체스 적분에 등장하는 Upper/ Lower Integral에 관한 이야기를 하였다.
아직, 적분 가능성에 대해서는 (Upper/Lower Integral이 같으면 된다 빼고) 한마디도 하지 않았다!!!
다음 시간에 적분 가능성에 대한 이야기와 각종 성질들에 대해서 더 알아보자!
