(해석학) 6-4. 연속에 대한 생각을 넓혀주는 불연속... (Discontinuity)

딱히 중요한 내용이 아니라서, 그냥 넘어가 미분에 대한 내용을 하려고 했으나, 불연속점에 대해서 알면 그래도 연속에 대한 생각이 조금 넓어질수도 있을 것 같아서 부록처럼 작성해본다....

 

먼저, 여기선 실수함수(Real-valued function)에 대해서만 이야기한다.

 

불연속(Discontinuity)점은 연속이 아닌 점을 얘기한다. 그럼, 불연속점은 어떻게 생겼을까???

연속이면 다음 성질을 만족했던 것을 생각하자.

그럼 만약에

라면, 불연속점일 것이다.

그럼, 언제 저런 식을 만족할까?

1. lim 값은 존재하는데(좌극한, 우극한은 있는 경우), f(p)가 아닌 경우 -> First Kind Discontinuity

2. lim 값이 아예 존재하지 않는 경우(좌극한, 우극한이 없는 경우) -> Second Kind Discontinuity

가 있을 것이다.

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(First kind discontinuity)

lim 값이 존재하는데, f(p)가 아닌 경우는 다음과 같이 생각할 수 있다.

1. 좌극한=우극한이지만, f(p)가 아니다.... (한 점에서만 값이 딱 다른 경우!) ( _-_ )

2. 좌극한과 우극한이 서로 다르다.... (Step Function처럼 값이 Jump하는 경우!) ( _----)

 

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(Second kind discontinuity)

lim 값이 아예 없는 경우는 언제일까?

1. 진동하는 경우 (y=sin(1/x))

2. 무한대 발산하는 경우 (y=(1/x) at x=0) (발산하는 것을 lim f(x)= inf 라고 쓰긴 하지만, 값이 없는 것으로 보아야 한다!)

 

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그런데, 단조함수에서는 Second Kind Discontinuity를 가질 수 없다!

-> 즉, 단조함수는 언제나 좌극한과 우극한을 가진다.... (심지어 연속이 아닌데도!!)

사실 직관적으로 그럴 거 같지만, 증명해보자.

 

(증명)

1. 먼저, sup f(t)=f(x-)임을 증명한다.

2. inf의 경우도 1과 동일하게 증명할 수 있다.

3. 부등식을 증명 -> 단조증가함수이므로 Trivial!!!

 

 

(Corollary 1)

(증명)

inf, sup 구간을 (x,y)로 잡으면 된다.

 

(Corollary 2)

단조함수는 Second Kind Discontinuity를 가질 수 없다! (항상, 좌우극한 가지므로...)

 

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또한, 단조함수에서는 First kind Discontinuity만 가지는데, 이 불연속점의 set은 기껏해야 countable이다... -> 즉, 셀 수 있다!

다른 말로 하면 단조함수에선 Uncountable하게 Discontinuity를 만들 수 없다! 증명해보자.

 

(증명)

각 불연속점은 유리수집합과 대응될 수 있으므로 Countable set이다!

 

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그렇다면, 이를 이용해서, 미친듯이 불연속점이 많은 단조함수를 만들어보자... (그래봤자 Countable)

먼저, 다음과 같은 수렴하는 급수를 생각해보자. (a_n>0)

또한, 불연속점을 x_1,x_2,....라고 하면...

-> x_1에서 a_1만큼 jump, x_2에서 a_2만큼 jump,..... -> a_n이 수렴하기 때문에, 무한대로 발산하지는 않을 것이다.

-> 다음과 같은 단조증가함수는 불연속점이 Countable...

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이번챕터에선 단조함수의 불연속점에 대해서 알아보았다.

-> First Kind Discontinuity만 가지고, Countable 개수라는 것만 알아두자....