(미적분학 참고링크)
-일변수함수의 미분-
(미적분학) 3-3. 필요한건 미분이라구!!! (Differentiation of function): https://0418cshyun.tistory.com/24
(미적분학) 3-3. 필요한건 미분이라구!!! (Differentiation of function)
저번 챕터에서는 함수의 극한과 연속에 관해서 설명했다면 이번 챕터에서는 드디어 함수의 미분에 관해서 설명한다 (함수의 미분) 뭔가 되게 복잡하게 설명하긴 하였는데, 결과적으로는 다음과
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-다변수함수의 최대/최소 찾기-
(미적분학) 13. 드디어 이론 내용을 조금 벗어났습니다....만 다변수함수 미분은 여기서 끝 (Critical Point with Hessian Matrix): https://0418cshyun.tistory.com/32
(미적분학) 13. 드디어 이론 내용을 조금 벗어났습니다....만 다변수함수 미분은 여기서 끝 (Critical
이번 챕터에서는 꽤나 어려웠던 이론 내용을 벗어나서 이론을 조금 응용한, 다변수함수에서 최댓값과 최솟값을 찾는 방법에 대해서 설명하고자 한다. 용어가 헷갈릴 수도 있어서 용어를 다시
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이번 챕터에서는 지금까지 배운 것들을 이용해서 미분에 대해서 설명한다.
물론, 이미 미분의 기하학적 의미라던지... 등등 다 알고 있다고 가정하고 설명한다.
여기서는 일변수함수인 경우만 다루고, 후에 다변수함수의 미분에 관해서 또 다룰 것이다.
(Differentiation)(미분)
다들 이미 알고 있는 내용일 것이다...
여기서 주목해야 할 건, 닫힌 구간에서의 끝 점에선 -> 좌극한, 우극한으로 정의해버리면 된다는 것이다...
--> 기존에는 끝 점 처리가 애매해서 미분이 나올 때마다 열린 구간으로 처리했던 것을 생각해보자!
(Differentiation & Continuity)
f가 [a,b]에서 미분 가능하면, f는 [a,b]에서 연속이다.
(Chain Rule)
위의 두 정리는 미적분학 카테고리에서 설명했으므로 더 자세한 설명은 생략하겠다.
또한, 미분은 최댓값, 최솟값 찾는데에도 사용되는데, 미적분학에선 다변수함수의 최대/최소를 다뤘기 때문에 여기선 일변수함수만 잠깐 다루고 넘어간다.
(Local Maximum)
즉, Open ball(열린 구간)안에서 p가 최대이면 된다...
(Differentiation & Local Maximum/Minimum)
만약에, f가 p에서 local maximum이고, f'(p)가 존재한다면 f'(p)=0이다.
(f가 전 구간에서 연속일 필요도 없다! -> p에서만 연속이어도 상관이 없다.)
(증명)
좌극한과 우극한 값을 확인해보자!
미적분학에선, 코시 평균값정리(Cauchy's MVT)를 일변수함수의 MVT를 이용해서 증명하였었는데,
사실, 일변수함수의 MVT의 증명을 안하고 썼으니 말이 안되긴 하였다...
여기선, 코시 MVT를 위의 내용을 이용해서 증명한다.
(Cauchy's Mean Value Theorem & Rolle's Thm(롤의 정리))
(증명)
중간에 h(a)인 point가 없다고 가정했는데, 만일 있다면, 그런 점 중 가장 작은 것을 b로 놓으면 된다.
-> 그러므로 h(t)는 h(a)이거나, h(a)보다 크거나, h(a)보다 작다... (a<t<b)
(Corollary) (Mean Value Theorem -> MVT)
g(x)=x ->
MVT를 이용하면 다음 성질을 얻는다.
(Generalized Rolle's Thm)
(증명)
코시 MVT, 롤의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있다!
그러므로, 다음과 같이 생각할 수 있다.
(Corollary)
f'(x)는 Connectedness를 보존한다! -> First Kind Discontinuity(JUMP)를 가질 수 없다!
미분의 나머지 내용(로피탈 정리, 테일러 정리)들은 다음 미적분학 카테고리 내용으로 대체한다...
1. 로피탈 정리
(미적분학) 4. 다 알고 있지만 몰래 쓰는 로피탈 정리와 더 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value Theorem(MVT), L'Hospital's rule): https://0418cshyun.tistory.com/7
(미적분학) 4. 다 알고 있지만 몰래 쓰는 로피탈 정리와 더 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value
이번 챕터에서는 테일러 정리에서 필요한 코시 평균값 정리를 소개하고, 이와 관련된 로피탈의 정리를 소개한다. 사실 여기서도 결국에 평균값 정리의 엄밀한 증명은 해석학으로 넘기고, 고등
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2. 테일러 정리
(미적분학) 5-1. 테일러 정리까지 오느라 수고하셨습니다...(Little-O Notation, Taylor Theorem): https://0418cshyun.tistory.com/8
(미적분학) 5-1. 테일러 정리까지 오느라 수고하셨습니다...(Little-O Notation, Taylor Theorem)
저저번 챕터에서 테일러 정리에 대해서 잠시 소개한 적이 있었지만, 다시 한번 간략히 복기해보면 테일러 정리는 미분가능한 함수를 다항함수(Polynomial) 꼴로 근사하는데 쓰이는 정리이다. 다만,
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(미적분학) 5-2. 결국엔 테일러 급수만 이용하게 됨... (Taylor Series): https://0418cshyun.tistory.com/9
(미적분학) 5-2. 결국엔 테일러 급수만 이용하게 됨... (Taylor Series)
이전 챕터까지 테일러 정리에 대해서 정리하였는데, 지금까진 많이 이론적인 내용들이 강해서 꽤나 어려웠을거라고 생각한다. 그러나 이번 챕터에서는 고리타분한 이론에서 조금 벗어나서 함
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(NOTE) 복소수 함수인 경우?? 즉,
인 경우를 잠시 살펴보자.
그러면 위의 함수를 다음과 같이, 실수부분과 허수부분으로 나누어 생각할 수 있다...
또한, 연속의 경우도 이렇게 그냥 두 부분으로 나누어 생각할 수 있고, 미분의 경우도
이렇게 쪼개서 생각할 수 있을 것이다.
그러나,
1. 일반적인 MVT는 성립하지 않는다! -> 사실, 복소수 자체가 대소비교가 안되므로 롤의 정리부터 막히게 된다...
2. 로피탈의 정리도 성립하지 않는다! (증명시 MVT 필요)
-> 일반적인 벡터함수의 경우에도 똑같이 성립하지 않는다!(복소수는 R^2였던 것을 기억하자!)
그래서, 벡터함수의 경우 MVT를 약간 변형시켜버린다...
(MVT in Vector-valued Function)
여기서 f'(x)는 우리가 이미 알듯이 gradient를 말한다.
(증명)
실수함수로 어떻게든 끌고 오기 위해서, 내적을 이용해서 실수함수 phi를 만들어내서 사용한다!
여기서 주목해야 할건, 등식이 아니라 부등식이라는 것이다! -> 내적이라 부등식으로 성립하고, 절댓값이라는 것을 생각하자!
어라??? 이상한 점이 느껴지지 않는가???
미적분학에서 그냥 등식인 것을 본 거 같은데..... -> 미적분학 10-3 참고!
비교해보면 다르다!
미적분학은 2개의 변수 -> 2개의 Output이었고, 여기서는 1개의 변수 -> Multi Output이다!
----> 1개의 변수만 가지고 1개가 넘어가는 Output을 완벽하게 Control할 수는 없고, 기껏해야 Bounded 시킬 수 있다!!
자, 미분에서 나올 정리는 다 정리한 것 같다...
아마도 이미 다 알던 정리가 대부분일 것이고, 추가로 나온 정리들도 그닥 어렵게 느껴지진 않을 것이라고 생각한다.
사실, 연속을 제대로 정의했기 때문에 논리적인 전개가 깔끔하게 나온다고 생각한다.... 물론 그걸 위해서 Topology, 실수의 완비성 등을 빡세게 하긴 했지만 말이다..
미분 챕터를 여기서 마무리 하기는 약간 아쉬워서, 다음 챕터에선 미분방정식의 해의 유일성에 관한 내용을 잠깐 짚고 넘어가려고 한다...
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