(해석학) 6-3. 연속함수의 성질 Part 2. (Uniformly Continuous)

이번 시간에는 저번 시간에 못 다루었던 Uniformly Continuous(균등 연속)에 관해서 이야기한다.

 

먼저, Uniformly Continuous의 정의를 보자.

 

(Uniformly Continuous)(균등 연속)

연속의 정의와 비교해보자!

1. 연속의 경우에는 p가 주어져 있지만, 균등 연속의 경우에는 p가 주어져 있지 않다!

2.

-연속의 경우

즉, 주어진 점 p와 epsilon에 따라서 변했었다. (해석학 6-1의 Example 1 참고!)

-그러나, 균등 연속의 경우

p가 주어져 있지 않으니, epsilon에 따라서만 변한다.

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예시를 들어보자!

(Example 1)

이 함수는 균등연속임을 확인해보자!

1. Epsilon=1

-> delta=2라고 해보자.

f(2)-f(0)=1.414....>1=epsilon ------------> No...

-> delta=0.5라고 해보자. 그러면

2. 사실은.... epsilon이 주어져 있다면!

-> 위와 같은 방식으로 한다면,

그러므로 위의 함수는 균등 연속이다!

 

(Example 2)

다음 함수가 균등 연속이 아님을 확인하자!

1. Epsilon=1

delta=1이라고 해보자.

-> f(2)-f(1)=3>Epsilon...

delta=0.1이라고 해보자.

-> f(10)-f(9.9)=1.99>Epsilon...

delta=0.01이라고 해보자.

-> f(100)-f(99.99)=1.9999>Epsilon....

--------> 어떻게 하든간에 Epsilon보다 크게 나올 것 같다.

 

2. 사실은...

균등연속이라고 가정하면 epsilon=1일 때도, 위 성질을 만족하는 delta를 잡을 수 있을 것이다. 그러나 q를 크게 잡으면 f(p)-f(q)를 항상 1과 같게(혹은 크게) 만들 수 있다... -> 그러므로, 균등 연속이 될 수 없다!

 

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그림으로 생각하면 다음과 같다.

1. 2D

Epsilon이 주어지면, Delta는 고정값으로 전체를 돌면서 Delta ball의 mapping 결과가 epsilon ball 안으로 들어가는지, 확인하면 된다.

 

2. (Example 1,2)

파란색 직사각형은 가로가 2delta, 세로가 2epsilon이다.

y=sqrt(x)의 경우에는 파란색 직사각형의 윗변이나 아랫변에 곡선이 닿지 않지만(-> 내부에 존재)

y=x^2의 경우에는 파란색 직사각형의 윗변이나 아랫변에 곡선이 닿는다!(-> epsilon보다 커져버린다!)

 

-> 균등 연속 : 미분값이 막 그렇게 요동치지 않는다....

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Uniformly Continuous의 개념에 대한 이야기는 이 정도로 하고, 성질을 보도록 하자.

 

(Compactness & Uniformly Continuous)

만약, X가 compact set이고, f가 X에서 정의되어 있고, 연속이라면, f는 X에서 Uniformly Continuous이다!

 

(증명)

X 위의 점 p에서 연속성의 정의에 따라 delta(p,epsilon의 함수!)를 각각 구할 수 있고, 이 open ball은 X의 open cover가 된다.

그런데, compactness에 의해서 유한개로 추릴 수 있다. 이 유한개의 open ball의 반지름 중 가장 작은 것을 delta(그렇다면, epsilon만의 함수!) 로 놓자.

 

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그러므로, 실수에선 다음과 같은 논의를 할 수 있다.

 

(Corollary)

만일 X가 non-compact set in Real Number이라면

1. f가 연속함수이면 -> f(X)는 unbounded 일 수 있다!

2. f가 연속이고 f(X)가 bounded이면 -> f(x)는 max/min 값을 가지지 못 할 수 있다!

3. f가 연속이고, X가 bounded이면 -> f(x)는 uniformly continuous가 아닐 수 있다!

 

-> 여기서 (일 수 있다) -> 존재성에 대한 이야기임....

 

(증명)

1. y=(1/x) (X: x>0)

2. y=1/(1+x^2) (X: Real axis -> Unbounded -> non-compact)

3. y=(1/x) (X: 0<x<1)

 

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정리해보자면

-그냥 연속(Continuous) -> Local 성질...(at x=p)

-균등 연속(Uniformly continuous) -> Global 성질 (on Domain X) 이라는 것을 알 수 있다.

-또한, Compact set에선 연속함수가 Uniformly Continuous인 것을 알 수 있었다....

 

후에, 이와 비슷한 느낌으로 Uniform Convergence(균등 수렴)도 나올 예정인데, 이 균등 수렴이 엄청 중요하다... (lim 순서 바꾸는데에 필요!)

 

다음 챕터에선 미분에 관한 내용을 들어갈 것이다. -> 이미 알고 있는 내용이 많기 때문에 사실 가장 어렵지 않게 느껴지는 부분!