(미적분학 참고링크)
-Power Series-
(미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius): https://0418cshyun.tistory.com/6
(미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius)
일단 이 챕터를 시작하기 전에 테일러 급수에 대해서 알고 들어가자. 일단 여기서 테일러 급수는 어떤 함수 f(x)를 다항함수(Polynomial)꼴로 표현하는 방법이라고 생각하면 된다. 예를 들어 exp(x)나
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이번 챕터에서는 Power Series와 급수의 Rearrangement(재배열)에 대해서 살펴보자.
Power Series의 경우에는 미적분학 카테고리에서 보았다고 생각하고, 간략하게 하고 넘어간다....
(Convergence of Power Series)
(증명) -> 주어진 급수에 대해서 Root Test를 쓰면 된다!
여기서 참고하고 넘어가야할 건, 굳이 x가 실수일 필요는 없다는 것이다. -> 복소수도 상관 없다!
(Convergence of Power Series at x=R in Complex Plane -> Alternating Series)
교대급수를 이용해서 수렴반경에서의 수렴성을 체크한다. 단, x=1인 경우에는 체크가 불가능하다.
(증명)
교대급수를 이용하면, 위 급수의 수렴성을 체크할 수 있다.
Power Series의 연속이나 미분 등의 내용은, 뒤에서 연속함수나 미분을 다룰 때 언급할 것이다!
이번에는 급수의 재배열(Rearrangement)에 대해서 알아보자.
다음과 같은 질문을 던져보자
교대급수정리에 따라서 다음 급수는 수렴한다.
그런데, 이를 순서만 바꾸어서 다음과 같이 생각해보자.
즉, 양수 2개, 음수 1개로 순차적으로 순서를 바꿔서 생각하자. 그러면 다음과 같이 생각할 수 있다.
어...? 순서를 바꿔놓았더니 값이 달라진다는 것을 확인할 수 있다. 그림으로 확인하자....
왜 이렇게 될까 잠깐 생각해보면, 재배열을 할 때에 문제가 생기게 된다...
-> 즉, 급수의 재배열을 다음과 같이 생각해보면...
(Rearrangement)(재배열)
자연수집합이 무한집합이므로, 위의 두 급수의 부분합이 같지 않을 수도 있고 또한 수렴값이 같을 이유도 딱히 없다...
그러면, Rearrangement를 하면 언제나 값이 달라질까???
다음 성질을 보면서 생각해보자.
1. 복소수에서의 Rearrangement
즉, 복소수에서 절대수렴하는 급수는 재배열을 해도 수렴하고, 값도 동일하다! -> 물론 실수도 포함이다!
(증명)
즉, 코시수열의 성질을 이용하여, 재배열을 해서 N보다 작은 원소들은 n이 충분히 크면 다 cancel 시킬 수 있다. 이는 결국 재배열 한것과 원래 급수가 동일하다는 것을 의미한다.
2. 실수에서의 Rearrangement -> 절대수렴보다 약간 더 완화시킬 수 없을까???
a_n이 실수이고, 절대수렴을 안하는 경우에 -> 재배열의 수렴값의 최대/최소(limsup,liminf)를 어떤 식으로든 bound 시킬수 있다는 말이다!
즉, 위에서 나온 예시에서, 재배열을 하는 경우, 모든 케이스가 다 나올 수 있을 것이다...(수렴 안하고 진동, 발산, 또는 수렴하지만 값이 달라질 수도....)
(증명)
증명이 복잡하니 잘 따라오길 바란다...
그러면 양수항과 음수항을 각각 m_n, k_n개 씩 번갈아가면서 재배열을 만들 수 있다. 즉,
(NOTE)
절대수렴은 안하지만, 수렴한다는건 -> 절댓값 다 더한 것이 무한대로 발산한다는 말!
그러므로, 증명에서 부분합블럭(빨강, 파랑)은 무한대로 발산하게 만들 수 있다!
결론은 무엇이냐면, 만약에 limsup=a, liminf=b인 재배열을 만들고 싶으면
a가 넘을 때까지 양수항만 더하고, a가 넘는 순간, 음수항만 더한다. b를 넘는 순간 다시 양수항만 더한다... -> 반복
다음은 위의 예시에서 inf=-0.1, sup=0.1인 경우의 재배열을 그래프로 표시했다.
그림에서도 보이는 것 같이, 경계를 넘어가면 양수항 더하는 것과 음수항 더하는 것을 바꿔주기만 하면 된다!
지금까지, Power Series와 급수의 Rearrangement에 대해서 알아보았다.
Power Series의 경우에는 미적분학에서 보았던 것 같이 유용하게 사용되었던 것을 생각하자!
다음시간부터는 드디어 함수의 극한 -> 연속, 미분에 관한 이야기를 시작한다.
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