(해석학) 5-1. 급수부턴 수월함.... (Convergence of Series 1)

(미적분학 참고링크)

(미적분학) 2-1. 입실론-델타논법으로 수렴성 증명은 귀찮아 (Comparison Test, Ratio Test, Root Test, Integral Test) :

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(미적분학) 2-1. 입실론-델타논법으로 수렴성 증명은 귀찮아 (Comparison Test, Ratio Test, Root Test, Integral

 

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이번 챕터에서는 앞에서 배운 성질들을 바탕으로, 급수의 수렴성에 대해서 알아볼 것이다.

사실, 미적분학에서 새로 나가는 건 거의 없고, 그저 미적분학에서 스리슬쩍 넘어간 증명들만 다시 한번 볼 것이다...

 

일단, 급수(Series)라는 건, 이미 알고 있듯이

이 것을 말하는데, 수렴처럼 생각하기 위해서 부분합(Partial Sum)을 생각한다. 즉,

그러므로, 이 급수가 수렴한다는 건 저 부분합이 수렴한다라는 이야기와 동일하다.

 

앞에서 배운 걸 이용한다면, 저 급수가 수렴하는지 보려면 다음과 같은 방법이 있을 것이다.

1. 코시수열인지 확인

2. 단조수렴정리를 사용

3. 수렴할 값을 찍어서 수렴 판단

 

이 때, 급수의 수렴값은 모른다고 봐야 하므로(알면, 굳이 수렴성을 판단해야 하나...?) 1, 2번을 이용하게 된다.

 

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1. 코시수열인지 확인 -> Cauchy Criterion

즉, 부분합이 코시수열인지 확인하면 된다.

 

이 때, 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다.

수렴성으로부터 당연하게 여겼던 바로 그 성질이다...

 

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2. 단조수렴정리를 사용할 수 있는지 확인

(Convergence of Nonnegative Series)

모든 항이 양수인 급수의 경우, 부분합이 단조증가수열이다. 그러므로

(사실 모든 항에 대해서 양수일 필요는 없다! -> 앞에 finite 개수의 항은 어차피 수렴성엔 쓸모 없다!)

 

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위의 1번과 2번을 이용하면 바로 Comparison Test(비교판정법)을 뽑아낼 수 있다. -> 흔히 샌드위치 정리라고 불리는 그것이다.

(Comparison Test)

1. (Convergence Test)

2. (Divergence Test)

 

(증명)

코시수열임을 증명해보자!

1. 

2. 1번의 대우로 생각하자.

만일 c_n이 수렴한다고 가정하면, a_n이 수렴하므로, 2번이 성립한다!

 

단조수렴정리를 사용해도 상관없지만, 1번의 경우 음수도 포함하기 때문에 제한적이다...

 

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여기서 잠시, 잘 이용하는 몇 가지 급수들을 소개하고 간다.

 

1. (Geometric Series)

이거야 워낙에 다들 알고 있을거라고 생각해서 자세한 얘기는 생략한다.

 

2. (예상외로 잘 써먹으면 유용한 급수성질 1)

사실, 이건 다음 성질을 증명할 때 쓰였다.

(증명)

단조수렴정리를 이용해보자!

 

(Note)

1/n에서는 다음과 같이 증명했다.

 

3. (정수론에서 많이 보는 리만-제타함수 꼴)

(증명)

위 2번 성질을 이용한다.

 

4. (예상외로 잘 써먹으면 유용한 급수성질 2)

사실, 이것도 정수론에서 볼 기회가 많은 것 같다...

 

(증명)

2번 성질을 이용하면 된다.

 

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미적분학에서 본, root test와 ratio test에 대해서도 똑같이 증명해볼 수 있다!

-> 비교판정법을 보았으므로 음수에 대해서도 상관없이 이용할 수 있다!

 

(Root Test)

여기서 주목해야 할 건, lim이 아닌, limsup을 이용하였다는 것인데, 이건 별거 아니고, lim 값을 쓰면, 수렴값을 못 구하는 경우가 있어서 limsup으로 대신 사용했다고 생각하면 된다. (수렴하면 lim이나 limsup이나 똑같다. -> 미적분학에서 그냥 lim을 이용하였다는 것을 생각해보자!)

또한, alpha가 1일 때 ???라는 건 판단을 못한다는 뜻이다. (수렴할 때도 있고, 아닐 때도 있고....)

 

(증명)

 

(Ratio Test)

어라? Root Test와는 또 다르다....

2번의 ratio가 limsup이 아닌데, 이것이 ratio test가 root test보다 더 안 좋은 이유가 된다.

즉, Root Test가 Ratio Test보다 성능면에서 더 좋다는 것을 알 수 있다!

(물론 계산하기 어려우면, ratio test를 써야 하겠지만...)

 

(증명)

1. 

 

2. 귀류법으로 접근하자!

 

위에서 언급한 Root test가 Ratio test보다 더 좋은 이유를 한번 살펴보자.

 

(Root is Better Than Ratio...)

즉, 다음과 같은 성질을 만족한다. (편의상 양수일 때만 생각해보자.)

(증명)

위의 Ratio Test의 증명을 참고해보자!

infimum의 경우도 같은 방식으로 증명할 수 있다.

 

(Example)

일반항이 꿀렁거리면서 작아지는 케이스를 한번 보자.

홀수차항과 짝수차항이 커졌다가 작아졌다가 하기 때문에, Ratio Test를 쓰게 되면 1번, 2번 조건 둘 다 걸리지 않게 된다.

하지만, Root test를 사용하게 되면...

 위와 같이 수렴하는 것을 확인할 수 있다!!!

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여기까지, 급수의 수렴성 테스트인 비교판정법, Root Test, Ratio Test에 대해서 보았다.

미적분학에서 배웠던 Integral Test는 적분을 급수처럼 생각하면 되므로 일단은 패스하고(후에 적분파트에서 다룰수도...?)

다음챕터에선 남은 교대급수와 절대수렴에 대해서 알아보자!