(해석학) 5-2. 시그마(급수)는 막 곱하면 안 되나??? (Convergence of Series 2)

(미적분학 참고링크)

-교대급수, 절대수렴-

(미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수는 어떻게 하지? (Alternating Series Test, Absolute Convergence) : https://0418cshyun.tistory.com/5

(미적분학) 2-2. 음수항이 있는 급수는 어떻게 하지? (Alternating Series Test, Absolute Convergence)

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이번 챕터에서는 저번시간에 말했던 것처럼, 교대급수(Alternating Series)와 절대수렴(Absolute convergence)에 관하여 다룰 것이다.

 

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먼저, 교대급수(alternating serires)란 부호가 반복적으로 바뀌는 급수를 말한다. (+,-,+,-,+,-,......)

그런데, 이 교대급수는 다음과 같은 급수의 곱(? -> 뒤에 이유가 나온다.)으로 생각할 수 있다.

여기서 당연히 다음을 알 수 있다...

여기서는 조금 더 일반화된 논의를 위해서 교대급수 대신에 급수의 곱의 수렴성에 대해서 알아본다.

 

먼저, 급수의 곱의 수렴성에서 자주 쓰이는 식을 소개한다.

(Partial Sum Formula)

주어진 두 급수의 곱을 Partial sum과 수열의 차로 분리를 한 것인데, 대부분의 경우

Partial sum -> bounded로 처리가능, 수열의 차 -> 대부분 수렴하는 경우일 때 사용하므로 0으로... -> 수렴성 확인 가능!

이므로, 잊어버릴 때 쯤 되면 간혹가다 나오는 것 같다...

 

(증명)

사실, 증명이라고 할 것도 없는게, 수식 풀어서 쓰면 된다...

 

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위에서도 간략히 소개했지만, 위의 성질을 이용해서 다음과 같은 일반적인 성질을 얻는다.

 

(Convergence of Multiplication of General Terms...)

(증명)

이런 증명방법은, 후에 적분할 때 많이 등장하므로 알고 있으면 유용하다.

 

(Corollary) (Convergence of Alternating Series)

다음과 같은 교대급수는 수렴한다.

(증명)

위의 성질을 쓰면 간단하게 증명된다. -> 급수의 곱의 수렴성에서 각 조건을 확인해보자!

1. |Partial sum|은 c_1보다 항상 작거나 같다! -> bounded

2,3. 나머지는 Trivial!

 

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다음으로, 절대수렴(Absolute Convergence)에 대해서 알아보자.

 

(Absolutely Convergent)(절대수렴)

(증명)

코시수열임을 보이자.

 

사실, 저 꼴로도 쓸 수 있겠지만, 보다 정확히는

-> 양수인 수열의 급수가 수렴하면 그 수열에 마이너스를 마음대로 붙인 급수도 수렴한다

로 생각하면 좋다.

 

절대수렴을 바탕으로, 보다 더 강력한 급수의 곱 성질을 얻을 수도 있는데,

그런데, 이를 절대수렴을 이용하면, 이와 뭔가 비슷한 꼴로 만들어서 수렴성을 보일 수 있다.

 

(Convergence of Product of Series)

즉, 두 급수 다 수렴을 하는데, 한쪽이 절대수렴이면 급수의 곱이 수렴한다는 것이다!!!

(물론, 위에서 본 곱과는 차이가 있다! -> 여기서 나온 c_n을 일반적으로 급수의 곱이라고 얘기한다.)

 

(증명)

억지로 C=AB+... 꼴을 만들어 준 다음에 ...이 0으로 수렴한다는 것을 보인다.

특히, 여기서 저렇게 part를 나누어서 한쪽은 a_n의 수렴성을 이용하고, 다른 쪽은 beta_n의 수렴성을 이용하는 방법은 아주 많이 나오므로(특히 곱에서) 꼭 알아두자!

 

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여기까지 (교대급수와 절대급수 -> 사실은 급수의 곱의 수렴성) 에 관해서 다루어 보았다.

 

다음시간에는 분량 때문에 얘기를 못했던, Power series(멱급수)와 Rearrangement(재배열)에 관해서 다루어 볼 것이다.