이번 챕터에선, 그 동안 줄기차게 이야기해왔던, 최대최소정리(Extreme Value Theorem), 중간값정리(Intermediate Value Theorem)의 증명을 할 것이다.
이 정리들은 사실 연속함수가 Topology(Open,Closed,Compact....)에서 가지는 성질들이기 때문에 여기선 조금 더 일반적으로 연속함수가 topology에서 어떤 역할을 하는지를 볼 것이다.
1. OPEN / CLOSED SET and Continuity
열린(닫힌)집합과 연속함수는 어떤 연관이 있을까???? -> 왜인지 모르겠지만, open ball을 연속함수에 태우면 그대로 open set이 될 것 같은 느낌이 들긴 한다... 이 느낌이 과연 맞을까??? 다음 성질을 살펴보자!
(Open set and Continuity)
즉, 연속함수는 "역상"의 open을 보존한다는 말이다.
(증명)
1. ->
즉, V가 open 이니, V 안에 들어가는 open ball을 잡을 수 있다. 그런데 연속성에 의해 이 open ball 안으로 들어가는 X에서의 delta ball을 잡을 수 있다. 즉, delta ball이 V 안으로 들어가므로, V의 역상(preimage)에는 delta ball(open ball)이 포함되므로 V의 역상이 open set이다.
2. <-
Y에서 f(p)를 중심으로 하는 open ball V를 잡으면, 역상이 open이므로 X에서도 역상 안에 포함되는 open ball을 잡을 수 있을 것이다. 그런데 이 open ball은 p를 가지고 있고, 또 다른 원소도 가지고 있을 수도 있고, 없을 수도 있다...
다른 원소가 없다면, p는 isolated point이므로, 그냥 연속 정의가 성립한다!
(Delta를 잘 잡으면 p 하나만 delta ball안에.. -> 당연히 epsilon ball 안으로 들어간다(f(p)))
다른 원소가 있다면 이를 x라고 하자. 그러면, 이 x와 p는 연속성 정의에 부합하므로 f가 연속임을 알 수 있다.
(Corollary)
Closed set에 대해서도 동일하게 적용된다! (Closed set은 Open set의 여집합이므로!)
사실, 여기까지보면 그렇게 크게 쓰일 것같지는 않지만, 바로 다음 성질에서 쓰게된다.
2. Compact and Continuity
이제부터, Compact의 진가가 발휘된다...
(Compact and Continuity)
연속함수는 Compact set를 보존한다. 즉,
(증명)
중간에 쓰는 공식은 해석학글 2-1에서 소개했었다.
(Corollary)
만일, X가 compact set이고, f가 X에서 연속이라면
1. 유클리드 공간에서....
하이네-보렐 정리에 의해 f(X)가 bounded, closed set이 된다!
2. 실수에서...
하이네-보렐 정리에 의해 f(X)가 bounded, closed set이 되는데,
라고 하면,
-> bounded set이므로 이러한 M, m은 실수에 존재한다!
-> closed set의 성질에 의해 f(p)=M, f(q)=m을 만족하는 p, q가 X에 존재한다!
즉, 최대최소정리(Extreme Value Theorem)이다.
자, 드디어... 최대최소정리를 증명했다. 앞에서 깔아놓은거치고는 증명이 시시하게 끝나긴 하지만, Compact 성질과 실수의 완비성 성질(lub property)을 이용하였다는 것을 확인하자!
3. Connectedness and Continuity
앞에서도 잠깐 언급했었지만, 연속함수는 Connected set을 보존한다고 하였었다. 이를 증명해보자.
(Connectedness and Continuity)
연속함수는 Connected set을 보존한다. 즉,
(증명)
Connected set이 다 그렇듯이 대우로 증명한다.
중간중간에 closed set, 특히 closure에 관련된 성질을 사용하였는데, 기억 안 난다면 앞으로 돌아가서 확인해보자!
(Corollary) (Intermediate Value Theorem)(중간값정리)
실수에서....
앞에서 Connected Set의 성질을 본다면, 연속함수가 connected를 보존하므로 당연한 결과이다!!!
이번 챕터에서는 최대최소정리와 중간값정리를 증명해보았는데, 사실 이건 연속함수가 Topology에 미치는 성질 중 일부일 뿐이다.
다음 시간에는 이러한 정리들보다 훨씬 더 중요해질.... 남은 성질들(Uniformly Continuous)에 대해서 살펴볼 것이다.
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