이번 챕터에서 처음 알아볼 것은 리만-스틸체스 적분의 다양한 성질들이다.
너무 Trivial한 성질들을 제외하고 몇가지 적어본다...(증명은 일부 생략!)
1. 적분값이 Bounded!
(리만적분 정의할 때, f 자체가 bounded 였다는 것을 생각하자!)
2. alpha에 대한 성질
(Note)
alpha가 같을 때, 다음과 같았다는 것을 생각하자!
-> 별거 아닌거 같긴 하지만, 리만적분가능한함수의 집합을 공간으로 생각했을때, 벡터공간처럼 덧셈과 상수배가 닫혀있는 것을 알 수 있다!
3. 자주 쓰는 부등식!
이 부등식은 상당히 잘 쓰므로 꼭 기억하자!
(증명)
3.
합성함수의 적분가능성을 토대로... ->
그리고
4. 곱의 적분가능성
(증명)
3과 같이 합성함수의 적분가능성을 이용하면
사실, 이제까지는 적분 자체의 정의에 집중했었고, 기존에 알고 있었던 적분 정의에 추가된 (스틸체스) -> alpha에는 그렇게 신경을 쓰진 않았다...
여기서부터는 alpha에 관해서 더 집중해볼 것이다...
이를 위해서 Heaviside step funtion(Unit step function)을 도입한다.
(Heaviside step function)
그저, x=0을 기준으로 하는 계단식 함수이다. (물론, 이미 미분방정식이나 다른 데에서 많이 보았을 수도 있다!)
1. 리만적분은
인 경우인 것은 자명하다.
2. 그렇다면 더 Basic해보이는
인 경우는 어떻게 될까?
-> 어떤 식으로 Partition을 잡아도
이라서, 항상 적분값이 0일 것이다...
3. 그러면 다음과 같은 경우는 어떻게 될까?
인 경우는 어떻게 될까? (x=s에서 jump!)
-> Partition을 잡을 때 -> x_i<s 인 것, x_i>s 인 것으로 나눌 수 있을 것이다.
a) 부분구간이 s를 가지지 않을 때 -> 2번처럼 생각하면 여기서의 적분값은 0
b) 부분구간이 s를 가질 때, -> 즉,
그런데, f가 x=s에서 연속이므로, 부분구간을 아주 아주 작게 잡으면,
이 되어서,
4. 이를 더 확장할 수는 없을까?? -> unit step function을 양수배해서 더한 조합(굳이 말을 만들자면 positive linear combination)은 단조증가함수! (이러한 단조함수는 First Kind Discontinuity(JUMP)만 가진다! -> Unit Step Function을 잘 더하면 단조(증가)함수 alpha가 된다!)
즉, 다음과 같다!
(증명)
1번은 설명한대로 증명하면 되고, 2번에서 Property 3은 위의 3번 성질을 이야기한다. (I(x-s) -> f(s)!)
이런식의 접근법은 미분방정식의 Laplace Transform에서도 사용하는 것 같으니 참고!
이번엔 리만적분과 리만-스틸체스적분 사이의 관계를 알아보려고 한다.
앞에서 약간씩 언급은 했지만, 사실 치환적분법이라고 생각하면 되긴 한다.... (alpha -> x로!)
(Riemann Integral and Riemann-Stieljties Integral)
(증명)
그러므로 어떤 epsilon에 대해서도 차이가 Mepsilon보다 작아야 하므로 1번과 2번은 동치가 되어야 한다. 또한, 만일 1번이나 2번을 만족한다면,
그러므로 등식도 증명을 하였다.
이번에는 진짜 치환적분법을 증명해보자.
위에서는 alpha -> x (리만스틸체스 -> 리만) 이었다면, 이번엔 좀 더 일반적으로 (alpha -> beta) (리만스틸체스 -> 리만스틸체스) 과의 관계이다.
(Change of Variable in Riemann-Stieljtes Integral)
(증명)
증명은 간단하다! -> 함수 phi: x->y로 태워서 보내주면 된다!
여기까지 리만-스틸체스 적분의 alpha, (스틸체스)부분에 대해서 알아보았다.
여기서 알아본 Heaviside Step Function은 해석학 말고도 미분방정식이나 다른 곳에서 단조함수를 만드는데 많이 쓰이므로 알아두자!
또한, 치환적분법을 증명해보았는데, 증명법보다도, 잘 사용하는게 중요한것 같다... -> 적분이 간단해질수도!
이제 슬슬 미분이 나올 차례가 되었다. 적분이 나왔는데 이 파트에서 미분이 안 나오면 되나...
다음시간에는 미적분학의 기본정리에 대해서 알아본다!
