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Mathematics/미적분학

(미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear Mapping, Matrix) (선형대수학 참고링크) (선형대수학) 6. 선형사상과 행렬 (Advanced!): https://0418cshyun.tistory.com/156 (선형대수학) 6. 선형사상과 행렬 (Advanced!) 이제부터는 Ax=0, Ax=b를 푸는 것을 넘어서 => 여러 가지 Vector Space를 보았으니, 이 Space들 사이의 기하학적 관계를 보려고 한다. (참고링크) (미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear 0418cshyun.tistory.com 일단 사상(Mapping)이란 무엇인지 알아보자. (Mapping) 간단히 말해 어떤 값을 다른 값에 대응시키는 것을 말한다. (값이 굳이 수일 필요는 없다(ex. 함수를 대응시킬수도...)) 함수(function)하고 비슷한 개념.. 더보기
(미적분학) 6-1. 한때는 어려웠던 행렬...과 선형대수의 시작(Matrix, Linear Algebra) 먼저, 기본적인 벡터연산이나 행렬연산에 관한 내용은 다 안다고 생각하고 생략합니다!!! (관련 내용 질문은 댓글로!) 여기서는 벡터, 행렬에 대해서 아마도(?) 기존에 알고 있던 것(벡터 -> 속도/속력 개념, 행렬 -> 숫자를 행과 열을 맞춰 나열)과 약간 다르게 접근하려고 한다. 일단, 벡터/행렬이나 선형대수학이 필요한 이유는 쉽게 말해 우리가 다룰 것들이 다변수함수(Multivariate function)이기 때문이다. 지금까지 우리가 주로 다뤄왔던 건 y=f(x), 즉, 변수(input)가 하나(x), 결과값(output)이 하나(y)인 일변수함수이다. 그러나 우리가 다루는 문제는 대부분 적어도 2차원은 요구하고, 그래서 input은 2개 이상이 필요하다. (결과값은 필요에 따라 늘릴수도 있음) .. 더보기
(미적분학) 5-2. 결국엔 테일러 급수만 이용하게 됨... (Taylor Series) 이전 챕터까지 테일러 정리에 대해서 정리하였는데, 지금까진 많이 이론적인 내용들이 강해서 꽤나 어려웠을거라고 생각한다. 그러나 이번 챕터에서는 고리타분한 이론에서 조금 벗어나서 함수에 직접 테일러 정리를 적용해본다. (Taylor Series) 테일러 정리에서 n이 무한대로 가면, (즉, f(x)가 무한번 미분가능할 때(따라서 언제나 미분 결과는 연속)) 다항함수 P(x) -> Power Series P(x)로 생각할 수 있고, 이 때의 power series P(x)를 테일러 급수(Taylor Series) 혹은 테일러 전개(Taylor Expansion)이라고 한다. (이 경우에는 x=alpha를 기준으로 전개) 먼저, 이 P(x)의 의미가 있는 구간은 오직 수렴반경 안(혹은 x=수렴반경)이다. 그러.. 더보기
(미적분학) 5-1. 테일러 정리까지 오느라 수고하셨습니다...(Little-O Notation, Taylor Theorem) 저저번 챕터에서 테일러 정리에 대해서 잠시 소개한 적이 있었지만, 다시 한번 간략히 복기해보면 테일러 정리는 미분가능한 함수를 다항함수(Polynomial) 꼴로 근사하는데 쓰이는 정리이다. 다만, 이 근사한다(approximate)는 표현을 다루기 위해서 잠시 Little-O notation에 관한 내용을 다루고 넘어간다. (Big-O Notation) 아마 컴공이나 알고리즘 관련하여 공부하였으면 많이 봤을 개념이다. 쉽게 말해 Big-O Notation은 "주어진 함수 f(n)가 다른 어떤 잘 아는 함수 g(x)의 scale로 움직인다 (이를 f(n)=O(g(n))로 표현한다.)" 라는 개념이다. 즉, Big-O Notation의 목적은 정확한 값의 측정보다는 대충 이 정도로 움직인다라는 것을 보여주.. 더보기
(미적분학) 4. 다 알고 있지만 몰래 쓰는 로피탈 정리와 더 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value Theorem(MVT), L'Hospital's rule) 이번 챕터에서는 테일러 정리에서 필요한 코시 평균값 정리를 소개하고, 이와 관련된 로피탈의 정리를 소개한다. 사실 여기서도 결국에 평균값 정리의 엄밀한 증명은 해석학으로 넘기고, 고등학교 때 배웠던 평균값 정리를 이용하여 코시 평균값 정리와 로피탈 정리를 끌어낼 것이다. 먼저 고등학교 때 배운 평균값 정리에 대해 복습해보자. *****(Mean Value Theorem(MVT)) (NOTE) 대부분 연속조건(나중에는 적분조건)의 경우 닫힌 구간, 미분가능조건의 경우 열린 구간을 사용한다. 간단하게 설명하자면 평균변화율의 값을 가지는 순간변화율의 point가 (a,b) 안에 존재한다는 것이다. 여기서 잠깐 해석학에서 볼 평균값 정리 증명의 Tip을 보자면, 중요하게 보아야 하는건 f(x)의 미분가능성보다도.. 더보기
(미적분학) 3-3. 필요한건 미분이라구!!! (Differentiation of function) 저번 챕터에서는 함수의 극한과 연속에 관해서 설명했다면 이번 챕터에서는 드디어 함수의 미분에 관해서 설명한다 (함수의 미분) 뭔가 되게 복잡하게 설명하긴 하였는데, 결과적으로는 다음과 같다. 사실 저 위에 phi함수는 도함수(derivative)를 정의하는 것 때문에 사용한 것이고, 저 분수함수(평균변화량)가 x=c 근방에서 잘 정의된 것이 명확하다면 아래 정의를 써도 된다. 즉, 저 평균변화량의 극한값이 정의되면 미분가능하다(differentiable)고 한다. 결론적으로는 우리가 배웠던 미분의 정의 그대로 가져다 쓰면 된다. 고등학교 때 배웠던 것을 잠깐 짚고 넘어가자면 여기서 바로 미분가능성과 연속성의 관계가 바로 나온다. (Differentiation & Continuity) x=c에서 미분가능한.. 더보기
(미적분학) 3-2. 근데 우리가 필요한건 수열보단 함수 아니었나?? (Convergence, Continuity of function) (해석학 참고링크) -함수의 극한과 연속- (해석학) 6-1. 드디어 함수의 극한과 연속... (Limit and Continuity of Function) : https://0418cshyun.tistory.com/57 (해석학) 6-1. 드디어 함수의 극한과 연속... (Limit and Continuity of Function) (미적분학 참고링크) -함수의 극한과 연속- (미적분학) 3-2. 근데 우리가 필요한건 수열보단 함수 아니었나?? (Convergence, Continuity of function): https://0418cshyun.tistory.com/23 (미적분학) 3-2. 근데 우리가 필 0418cshyun.tistory.com 미적분학에서 사실 실제로 미적분에 이용할 것은 수열이.. 더보기
(미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius) 일단 이 챕터를 시작하기 전에 테일러 급수에 대해서 알고 들어가자. 일단 여기서 테일러 급수는 어떤 함수 f(x)를 다항함수(Polynomial)꼴로 표현하는 방법이라고 생각하면 된다. 예를 들어 exp(x)나 sin(x)등의 함수를 다항함수 꼴로 표현하는 것이다. (NOTE) 나중에 푸리에 급수를 보게 될 일이 있다면 푸리에 급수는 f(x)를 sin, cos의 삼각함수 형태로 표현하는 방법이라고 생각하면 된다. 그런데 아무 f(x)나 다항함수 꼴로 표현할 수는 없다. 정확히 말해서 테일러 급수 형태로 표현은 가능한데 이렇게 만든 급수가 원래 f(x)를 따라가지 않는 경우가 생긴다. 즉, 원래 함수와 테일러 급수의 오차가 너무 나게 된다..... 그래서 이 오차를 측정해서 테일러 급수를 써도 되는지 안되.. 더보기

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