본문 바로가기

Mathematics/미적분학

(미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function) (해석학 참고링크) (해석학) 22-2. 스토크스 정리에서 시작한 Potential Function의 존재성? (Exact Form, Closed Form): https://0418cshyun.tistory.com/99 (해석학) 22-2. 스토크스 정리에서 시작한 Potential Function의 존재성? (Exact Form, Closed Form) (미적분학 참고링크) (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function): https://0418cshyun.tistory.com/34 (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential F.. 더보기
(미적분학) 15-2. 더, 선적분 (Length of line, Curvature) 이번시간에는 선적분을 이용한 여러가지 응용을 보도록 하자. 1. 곡선의 길이 2. 곡률 1. 곡선의 길이 저번 챕터에서 y=sin x (0 더보기
(미적분학) 15-1. 다변수함수의 적분의 예시 없나요??? (Curve, Line Integral) (해석학 참고링크) -곡선- (해석학) 8-4. 적분과 미분과의 관계는? (Fundamental Theorem of Calculus, Curve): https://0418cshyun.tistory.com/66 (해석학) 8-4. 적분과 미분과의 관계는? (Fundamental Theorem of Calculus, Curve) 이번 챕터에서는 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)와 적분 나머지 파트들을 정리할 것이다. 먼저, 미적분학의 기본정리부터 살펴보자. (적분과 미분과의 관계) 특히, 2번이야 워낙에 0418cshyun.tistory.com 지난시간에는 다변수함수의 적분, 특히 적분 구간에 다변수함수가 들어갈 수 있다는 것을 설명하였다. 이번에는 구간에 들어가.. 더보기
(미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?) (해석학 참고링크) -리만-스틸체스 적분- (해석학) 8-1. 적분을 제대로 정의해보자! (Riemann-Stieltjes Integral):https://0418cshyun.tistory.com/63 (해석학) 8-1. 적분을 제대로 정의해보자! (Riemann-Stieltjes Integral) (미적분학 참고링크) -적분의 정의- (미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?): https://0418cshyun.tistory.com/20 (미적분학) 14. 적분에 대한 새로운 관점 (What is Integral?) 첫번째 챕터에서 언 0418cshyun.tistory.com 첫번째 챕터에서 언급한 바와 같이, 우리는 고등학교 때에 LIMIT(극한)에 대한 정의를 .. 더보기
(미적분학) 13. 드디어 이론 내용을 조금 벗어났습니다....만 다변수함수 미분은 여기서 끝 (Critical Point with Hessian Matrix) 이번 챕터에서는 꽤나 어려웠던 이론 내용을 벗어나서 이론을 조금 응용한, 다변수함수에서 최댓값과 최솟값을 찾는 방법에 대해서 설명하고자 한다. 용어가 헷갈릴 수도 있어서 용어를 다시 정의해보자면 임계점(Critical Point) -> f'(x)=0이 되는 점 극값(Extreme value) -> 극댓값과 극솟값을 합쳐부르는 말 극댓값, 극솟값(Local extreme value) -> 국소적으로(Locally) 최대 / 최소 (자세한 정의는 아래 참고) 최댓값, 최솟값(Global maximum value) -> Domain의 모든 점에 대해(Globally) 최대/최소 (자세한 정의는 아래 참고) (일변수함수의 최댓값과 최솟값) 고등학교 때, 미분가능한 일변수함수 y=f(x)의 최댓값과 최솟값을 어떻.. 더보기
(미적분학) 12-2. (이번에도) 드디어 테일러 정리 in 다변수함수 (Taylor Theorem in Multivariate Function) 일변수함수의 테일러 정리는 다음과 같았다. 이번에도 이와 같은 방식으로 테일러 정리를 유도해보자. (Taylor theorem in Multivariate Function) (증명) 더보기 사실, 로 놓으면, g는 일변수함수이므로, t=0에 대해서 테일러 정리를 쓰면 바로 증명이 가능하다. (Note) 또한, k차 테일러 전개에서의 오차는 일변수함수와 동일한 방식으로 (Error of k-th-order Taylor Expansion) 더 나아가, k-norm을 다음과 같이 정의하는데, 이를 위의 Error 식과 종합해보면 지금까지는 테일러 정리에 관한 내용이고, 여기서 몇가지 더 테일러 전개(Taylor Expansion)의 성질을 알아보도록 하자. 여기선 편의상 일변수함수에 대해서 생각해보자. 1. .. 더보기
(미적분학) 12-1. 테일러 정리에는 n계 미분이 필요한데?? (High-Order Differentiation of Multivariate Function) (다변수함수의 고계미분) 다변수함수의 테일러정리를 위해 일변수함수의 테일러 정리를 생각해보자. 이를 보면, n번(nth-order) 미분한 함수가 필요한 것은 당연하다. 다변수함수의 이계 미분(Second-order)을 생각해보면, 일단, 도함수(전미분)가 행렬함수로 나타내어지니, 이를 다시 input으로 넣으면서 생각하기가 복잡해진다.... 그러나 저번 챕터의 마지막 부분을 잘 생각해보면, 이 행렬함수를 풀어 써서 하나의 벡터로 볼 수 있기 때문에(물론, 3차원 텐서를 이용해서 논리를 전개할 수도 있겠지만) 이를 잘 이용하면, 이계 미분의 성분들은 다 구할 수 있다. 이 성분들을 잘 정리해서 이용하면, 마치 일변수함수 이계도함수처럼 사용할 수 있다. 그러나, 이런 방식(특히, output이 여러개(mu.. 더보기
(미적분학) 11. Output 개수가 1개일 때 더 중요해지는 개념들? (Gradient) 우리는 계속 다변수함수에 관해서 알아보고 있다. 이번 챕터에서는 output 개수가 1개일 때, 즉, 인 경우에 대해서만 살펴볼 것이다. 먼저, 예시로 등산을 위해 지도를 그린다고 하자. 이때, 함수 f(x)는 x 지점의 높이를 나타낸다고 하자. 먼저 이 함수의 그래프에 관해서 알아보자. "그래프???" 라고 하면 너무 당연한 개념으로 생각할 수 있지만, 함수의 그래프가 뭐냐고 물어보면, 어떤 식으로 설명할 것인가? 예를 들어 y=x의 그래프를 그려보자 라고 하면, y=x를 만족하는 (x,y)를 좌표평면에 다 찍어놓은 것이라고 할 것이다. 즉, y=f(x) (y: 스칼라, x: 벡터)의 그래프는 다음과 같다. (Graph of functions) (여기서 X는 정의역) 등산 예시에서 만약에 f의 그래프를.. 더보기

티스토리툴바