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Mathematics/해석학

(해석학) 18-1. 다변수벡터함수의 고차미분 -> 결국 MVT! (High-Order Derivatives of MIMO) (미적분학 참고링크) (미적분학) 10-3. 다변수함수의 미분은 꽤 복잡하구나.....(Chain Rule, MVT in Multivariate Function): https://0418cshyun.tistory.com/26 (미적분학) 12-1. 테일러 정리에는 n계 미분이 필요한데?? (High-Order Differentiation of Multivariate Function): https://0418cshyun.tistory.com/30 지난 챕터까지는, MIMO의 1st-order Derivative(사실은 대부분 역함수의 미분이었지만...)을 계속 다뤄왔었다. 이번에는 MIMO의 High-Order Derivatives(그래봤자 2계미분이지만...)을 살펴보자! (직관적 의미는 위의 미적분학 .. 더보기
(해석학) 17-3. 다변수벡터함수의 미분에서 시작해서, 방정식의 해의 존재성으로 끝나버림... (Rank Theorem, Pseudo Inverse) 이번 챕터에선 Inverse Function Theorem, Implicit Function Theorem에 이어서, 드디어 마지막인 Rank Theorem에 대해서 이야기 해보려고한다. 방정식의 해의 존재성에 관한 전반적인 이야기는 앞 챕터에서 다루었기 때문에 생략하겠다. (17-1, 17-2 참고!) 앞에서 보아서 알겠지만, 남은 이야기는 결국 (변수 개수) < (식의 개수) 인 경우인데, Pseudo-Inverse 라는 것과 관련이 있다고 했었다. Pseudo-Inverse에 관한 내용을 선형대수에서 다룬다고는 했지만, 도저히 안 쓰고는 넘어가기가 그래서, 여기서 딱 필요한 정도만 다룬다... 먼저, 이를 위해서 선형대수 내용을 더 끌어오자.... (물론, 가장 좋은 건 선형대수 내용을 보고 오는 .. 더보기
(해석학) 17-2. 이게 방정식의 해의 존재성과 연관이 된다고?? (Implicit Function Theorem) 지난 챕터에선, 역함수 정리에 대해서 살펴봤었는데, 끝에 살짝 언급한 것과 같이, 역함수의 존재성이 일반적인 방정식의 해의 존재성과 일치한다는 것을 보았었다. 여기에 대해서 더 자세히 보자... (일반적인 방정식의 해의 존재성) 어떤 방정식이 주어졌다고 하자.... 그러면 그 방정식이 무엇이든 간에 한 쪽으로 몰아서 작성할 수 있다. 예를 들어서, 이렇게 복잡한 방정식도, 결국에 한 쪽으로 몰면 위처럼 정리가 된다. 그런데, 만일, f가 linear(행렬)라면... -> "선형" 연립방정식의 해를 구한다고 생각을 해보자... -> 결국 선형대수에서 하는 것! 1. 변수의 개수= 식의 개수이면, (해가 있다면) 유일한 해를 가진다는 것을 알 수 있다! (역함수(역행렬)의 존재성!) ex) 3x+y=4, x.. 더보기
(해석학) 17-1. 수능에 많이 나오는 역함수 미분법이 이렇게나 고차원적이라고? (Inverse Function Theorem) 이번챕터에서는 역함수의 미분에 대해서 알아보도록 한다. 다들 이미 알고 있겠지만 일변수함수(SISO)에서는 아무생각없이 다음처럼 계산했었다. (어떤 변수로 정리하는지 꼭 확인하자! x->y) 혹시나 미분을 뉴턴식으로 표기하는 사람이 있다면, 여기서만이라도 꼭 라이프니츠식으로 바꿔서 생각하자. 정말로 헷갈린다! 이런 식으로 계산했었다... 예를 들어서 그러니까 위의 내용은 결국엔 이라는 것이고, (dx/dy는 결국 x를 y로 미분하는 거니 (일차적으론) y에 대한 식으로 나올 것이다. dy/dx의 경우도 마찬가지) 이를 증명하는 거야 이런 식으로 했었는데, 수식 쓰는거야 간단하지만, 여기엔 문제점이 있다. 역함수가 있긴 하니? 주어진 x, 혹은 domain에 대해서 역함수가 존재해야 한다는 것이다.... .. 더보기
(해석학) 16. 다변수벡터함수의 미분, 그래도 이미 알고 있는 것이라서 다행이네.... (Differentiation of MIMO) (미적분학 참고링크) (미적분학) 10-2. 다변수함수는 미분도 똑같을까??? (Differentiation of Multivariate Function(Partial Derivative, Total Derivative)): https://0418cshyun.tistory.com/25 (미적분학) 10-3. 다변수함수의 미분은 꽤 복잡하구나.....(Chain Rule, MVT in Multivariate Function): https://0418cshyun.tistory.com/26 (미적분학) 11. Output 개수가 1개일 때 더 중요해지는 개념들? (Gradient): https://0418cshyun.tistory.com/27 위의 미적분학 내용 꼭 보고 오세요!! 여기선 개념 설명보단, 정확.. 더보기
(해석학) 15-2. 다변수벡터함수를 위한 선형대수2 (Linear Algebra for MIMO Function -> Space of Linear Transformations) 지난시간에 이어서 조금 더 나아가보자! Linear Transformation은 하나의 Mapping에 대한 것이었다면, 이 Linear Mapping들을 모아놓은 공간을 생각해보자! (Space of linear transformation) 1. 그러면, 이 공간은 Vector Space이다. (벡터 대신 행렬을 쓴 것 밖에 없다!) 즉, 즉, 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있다. 2. 또한, (행렬이 아니더라도) 교환법칙이 성립하지 않는다! 간단하게 예를 들자면... BA의 경우에는 저렇게 mapping 순서가 맞는데, AB를 만드려니 x는 Y에서 와야하고 결과는 Z에 있는데, 이를 다시 A에 넣을 수는 없다.(Domain이 X이므로) 그러니, 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 3. 만일, 벡터공간.. 더보기
(해석학) 15-1. 다변수벡터함수를 위한 선형대수1 (Linear Algebra for MIMO Function -> Linear Transformation) (미적분학 참고링크) (미적분학) 6-1. 한때는 어려웠던 행렬...과 선형대수의 시작(Matrix, Linear Algebra): https://0418cshyun.tistory.com/10 (미적분학) 6-2. 이상하게 계속 보이는 선형사상 개념(Linear Mapping, Matrix): https://0418cshyun.tistory.com/12 (미적분학) 7-1. 역행렬을 위한 선형대수 기본 지식 (Linear Combination / Independence): https://0418cshyun.tistory.com/15 (미적분학) 7-2. 역행렬 계산이 왜 이렇게 복잡하지? (Determinant): https://0418cshyun.tistory.com/16 (참고로 본 블로그의 미적분학.. 더보기
(해석학) 14-2. 가끔씩 보이는 베타함수 (Beta Function) 이번에는 감마함수와 함께, 조금 더 들어가면 또 가끔 더 보이는, 베타함수에 대해서 알아보자. (Beta Function) 베타함수는 적분으로 정의해도 상관없고, 감마함수를 이용해서 정의해도 상관없다. 사실, 등장빈도는 감마함수에 비해서 낮긴 하지만, 저 적분꼴이 은근히 많이 등장하므로, 딱 그냥 상식정도로 알아두자... 여기서 베타함수의 두 식이 같은 것임을 증명해보자! -> 감마함수의 성질을 이용한다. (증명) 더보기 일단, 인 것을 가정해서 시작하자! 그러면, 이 함수 f(x)가 감마함수의 성질 3가지 모두를 만족하는 것을 보이면, f(x)가 감마함수가 되어, 위 식을 증명하는 것이다. 그럼, f(x)가 감마함수의 성질을 보이는 것을 확인하자. 1. 그러면, 2. 3. 먼저 log B(x,y)가 C.. 더보기

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