(미적분학 참고링크)
(미적분학) 10-3. 다변수함수의 미분은 꽤 복잡하구나.....(Chain Rule, MVT in Multivariate Function): https://0418cshyun.tistory.com/26
(미적분학) 12-1. 테일러 정리에는 n계 미분이 필요한데?? (High-Order Differentiation of Multivariate Function):
https://0418cshyun.tistory.com/30
지난 챕터까지는, MIMO의 1st-order Derivative(사실은 대부분 역함수의 미분이었지만...)을 계속 다뤄왔었다.
이번에는 MIMO의 High-Order Derivatives(그래봤자 2계미분이지만...)을 살펴보자!
(직관적 의미는 위의 미적분학 링크 참고!)
그 전에 1계미분에서 안 보고 넘어간 개념이 있어서, 잠깐 짚고 넘어간다.
(Jacobian)
이 Jacobian은 특히, f(x)로 Mapping 할 때의 면적 or 부피의 변화량(사실, basis의 곱의 변화량) 과 일치하므로, 다중적분을 할 때 아주 유용하게 쓰인다! -> 미적분학에서의 Jacobian을 생각해보자!
(2nd-Order Derivatives)
단지, 다변수벡터함수를 두번 미분한 것일 뿐이다... 이런식으로 Higher-Order Derivative를 확장시키면 된다!
이 2nd-Order Derivatives를 이용하면 기존의 MVT를 우리가 SISO에서 보았던 "등식" 형태로 고칠 수 있다.
기존의 MIMO에선 MVT가 다음과 같은 "부등식"형태 였다...
그런데, 2nd-Order Derivatives가 존재한다는 가정이 붙으면 다음처럼 등식으로 바꿀 수 있다.
(다만, 일변수처럼 -> Output이 1개여야 함!)
(Mean Value Theorem)(MVT)
즉, 구간 내부가 아닌, 직사각형으로 확장되었다고 생각하면 된다!
(증명)
증명은 기존의 MVT를 이용하면 아주 간단하다.
증명을 보면 알겠지만, 이러한 전개는 3rd-Order Derivative등의 고계미분으로도 충분히 확장될 수 있다!
그리고, 여기서 알아두어야 할 것은 일반적으로
이라는 것이다! (저게 같아야 할 이유는 위에서 전개한 내용으로는 전혀 없다!)
예를 들어서...
그러면, 언제 "편미분의 교환법칙"이 성립할까?
그건 바로 C2-mapping인 경우이다.
(Commutative Law for Partial Derivatives -> C2-Mapping)
즉, 연속인 지점에선 교환법칙이 성립한다!
(증명)
MVT를 이용하면 쉽게 보일 수 있다!
이번챕터에선 MIMO의 고계미분을 다루면서 MVT가 어떻게 확장되는지 살펴보았다.
간단하지만, 편미분의 교환법칙이 C2-mapping일 때만 성립한다는 것은 알아두자!
다음 챕터에선 적분과 미분 순서를 바꾸는 라이프니츠 정리를 소개한다!
