(미적분학 참고링크)
(미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function):
https://0418cshyun.tistory.com/34
이번 챕터에선 적분과 미분 순서를 바꾸게 하는 라이프니츠 공식에 대해서 알아보자.
앞에서 보았듯이, 결국 lim 순서를 바꿀 때처럼, 키포인트는 "Uniform Convergence"이다! (미분, 적분 모두 다 결국엔 lim로 정의가 되니까!)
(Leibniz's Integral Rule)(라이프니츠 공식)
아래의 4가지 조건을 만족하면 미분과 적분 순서를 바꿀 수 있다.
즉,
1. f가 어떤 닫힌 영역에서 정의되어 있고,
2. alpha는 단조증가함수 (적분 정의 위해서)
3. 주어진 모든 t에서 t가 고정되어 있을 때, (x에 대해서) 적분가능하고,
4. (D_2f가 연속) -> 즉, t로 편미분했을 때, 연속이라면
((D_2f)_s -> t=s가 고정되어 있는 것을 말한다!)
-> 미분과 적분 순서를 바꿀 수 있다! (각 변수들이 고정되는 것에 유의하자!)
(증명)
f의 t 방향 평균변화율이 D_2f에 Uniformly Converge함(t에 대해서)을 보이면 된다!
phi(x,t)가 t에 대해서(t가 s로 갈 때, x의 범위에서) Uniformly Converge하므로, 앞에서 본 것과 같이 순서를 바꿔버릴 수 있다!
즉, 라이프니츠 정리는 그저 t에 대한 미분이 잘 정의되어 있으면(즉, t에 대해서 C1-mapping), Uniformly Converge를 끌어낼 수 있어서 (t에 대한) 순서를 바꿔버릴 수 있다는 것에 불과하다.
게다가, 여기서 a,b의 범위를 t에 대한 함수로 확장시킬 수도 있다.
(범위는 x에 대한 함수가 아니다! -> x로 적분했는데, 범위를 x에 대한 함수로 놓으면 말이 안된다... -> 적분하면 x는 없어져야 한다.)
다만, 위의 증명과정에서 보이듯이, 만일 a(t),b(t)가 C1-mapping이 아니라면 증명하는게 심히 곤란해질 것이다....
-> 사실 Uniform Convergence를 뽑아낼 수 있다면 상관이 없긴 하다.
그래서, 결론적으론... (여기선 편의상 스틸체스 적분에서 리만적분으로 작성한다!)
(여기서 빨간 부분이 우리가 위에서 증명했던 부분이다.)
이 라이프니츠 적분공식은 물리학에서 꽤나 많이 쓰기 때문에 중요하다!
(특히 물리량의 Flow.... -> 지배방정식 유도할 때 많이 써먹는다)
여기까지 미분적분 순서를 바꾸는 라이프니츠 적분공식에 대해서 살펴보았다...
이제까지 "미분"에 관한 이야기를 주로 했었다면, 다음시간부터는 다변수벡터함수의 적분에 대해서 많이 Deep하게 살펴보도록 하자. (미분형식에 관한 내용!)
