본문 바로가기

Mathematics/해석학

(해석학) 21-2. 적분을 실제로 해보자! (Integration on Various Domain, Direction of Boundary) 이번에는 앞 챕터에서 보았던 적분구간들에서 실제로 적분을 어떻게 하는지 살펴보고, Boundary에 대한 내용에 대해서 더더더 살펴보자! 1. Simplex 먼저, k-simplex의 경우 k-surface이므로, 적분대상이 되는 미분형식은 k-form이 되어야 할 것이다... 그러면 다음처럼 적분을 할 수 있다. (NOTE) (0-Simplex) 0-simplex는 point와 부호(sign)만 가진 것이라고 했었다. 여기서 적분을 다음과 같이 정의한다. 이를 조금 더 확장시켜보면 (Sign of Simplex -> Sign of Integral) 즉, 적분영역의 Sign이 Integral에 그대로 적용이 된다! (증명) 더보기 저 sigma_bar가 p_i의 순서를 바꿔서 나왔다는 것을 기억하자! -.. 더보기
(해석학) 21-1. 다양한 모양의 적분구간들... (Simplex, Chain, Boundary) (미적분학 참고링크) (미적분학) 17-2. 드디어 마지막, 스토크스 정리 (Divergence, Curl in 3D, Stokes' Theorem): https://0418cshyun.tistory.com/39 (미적분학) 17-2. 드디어 마지막, 스토크스 정리 (Divergence, Curl in 3D, Stokes' Theorem) 지난 챕터에선 2차원 평면에서의 divergence와 rotation을 보았다. 이번엔 3차원 공간에서 알아보자. 정의는 2차원과 똑같다! (Divergence(발산)) (Curl) 보면 알겠지만 rotation은 curl의 2차원 버전이었다고 생 0418cshyun.tistory.com 이번 챕터와 직접적인 관련은 없지만, 스토크스 정리 및 발산 정리를 확인하고 오자.. 더보기
(해석학) 20-3. Change of Basis in 미분형식 (Change of Domain) 이번 챕터에서는 미분형식과 Change of Basis와 어떠한 관계가 있는지 살펴보자. 먼저, Change of Basis에서 다음과 같은 성질을 보았었다. 또한, 미분형식의 정의는 다음과 같았다. (Change of Basis in Differential Forms) 미분형식에서 Change of Basis를 이끌어내기 위해서 다음과 같은 w_T를 정의하자. 그러면 우리가 원하는 바는 바로 다음 정리이다! 어렵게 써놓긴 했지만, 결국엔 Change of Basis에 적분구간만 잘 정의했을 뿐이다. (Delta는 결국에 Parameter Domain 자기 자신!) (증명) 더보기 이번에도, 한개의 항만 가진 미분 형식에 대해서만 생각하면 된다. (Notation 헷갈리지 않도록!) 그러면, 이므로 결론.. 더보기
(해석학) 20-2. 미분형식을 미분? (Differentiation of Differential Forms) 이번챕터에선 지난번에 이어서 미분형식에 관한 이야기를 계속 해보자. 1. 미분형식 w=0의 의미 확장 미분형식 w는 어떤 Parameter Domain을 받는 함수라고 생각했어서 이런 성질을 만족했었다. 그런데 이를 확장하면 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다. (여기서 모든 미분형식은 Standard Presentation!) (증명) 더보기 귀류법으로 증명하자! 만일 b_I>0인 것이 존재하면, 위의 Phi함수로 적분하면, 값이 항상 0보다 크게 나오므로, w=0이라는 것에 모순이다.... 그러므로, 모든 I에서 b_I=0 그러므로, 미분형식은 저런 형태의 sum으로 나타내는 것이 어떻게 보면 당연하다고 할 수 있다. 2. 미분형식의 곱 사실 여기서 문제 될 것은 dx_I 부분이고, 나머지는 그냥 곱해.. 더보기
(해석학) 20-1. 미적분학에서 살짝 마음에 걸린 미분형식 내용 (Differential Form) 이번 챕터에서는 미적분학에서 살짝 언급이 되었던 미분형식에 관한 내용으로 들어갈 것이다. 미분형식에 대한 내용을 설명하기 전, Parameter Domain에 대해서 살펴보자. 예를 들어서, "임의의" 적분구간 Y에서 적분한다고 하자. 앞 챕터에서 예를 들었지만, 만일 Y가 반지름이 1인 단위 원이라고 한다면 -> 1. 직교좌표계의 경우 -> x,y의 범위를 정할 수야 있는데, 범위 정하기가 뒤에 나올 극좌표계보다 까다롭다... -> 2. 극좌표계인 경우 -> r, theta의 범위를 k-cell로 정할수가 있다! (0 Basis를 Phi로 옮겨 간 "후"의 적분이라고 생각하면 된다!(단, 의미만!!! -> 값은 부호 등을 따져야 하므로 다를 수도 있음) (저 Wedge를 생각할 때 -> 옮겨간 후의 d.. 더보기
(해석학) 19-2. 다변수벡터함수의 적분을 정의하자! (Change of Coordinates(Basis)) (미적분학 참고링크) (미적분학) 16-3. 계속 나오는 데에는 이유가 있지 (좌표계 변환과 치환적분법): https://0418cshyun.tistory.com/37 (미적분학) 16-3. 계속 나오는 데에는 이유가 있지 (좌표계 변환과 치환적분법) 다변수함수의 적분 챕터에서 계속 나오는 것이(예시로서든, 이론적으로서든) 적분을 우리가 아는 직교좌표계가 아닌, 극좌표계나 다른 좌표계(구면좌표계) 등에서 수행하는 것이다. 그만큼 중 0418cshyun.tistory.com 이번 챕터에서는 지난 챕터에 이어서, 다변수벡터함수의 적분을 "리만-스틸체스적분 처럼" 정의하려고 한다. 아직 남은 과제는 -> 순서대로 partition을 나누는 것과, 임의로 partition을 나누는 것이 동일한가??? 라는 것이.. 더보기
(해석학) 19-1. 다변수벡터함수의 적분... 리만-스틸체스 적분처럼?? (Overview of Integration of MIMO -> Integral on K-cell) 이번 챕터부터 다변수벡터함수(MIMO)의 적분에 대해서 들어가려고 한다. 이해를 돕기 위해서 일변수함수(SISO)의 적분(리만-스틸체스적분)과 비교해보자... 일단, 먼저 적분을 위해서는 적분 구간(닫힌 구간)이 필요했었고, 이를 Partitiion으로 잘게 쪼개는 작업이 필요했었다. 1. SIMO(일변수벡터함수) -> 이 경우엔, 적분 구간은 동일하게 잡으면 될 것이다.(어차피 하나의 변수이므로...) -> 적분 값이 벡터인데, 사실 이는 함수의 각 성분마다 적분하면 될 것이다. 2. MISO(다변수함수) -> 이 경우엔, 적분구간을 어떻게 잡아야 할까???? -> 가장 심플한 적분구간은 아마 K-cell이 될 것이다.... -> 물론, 저 k-cell에서 Partition을 잡는 방법이나, x_i들의.. 더보기
(해석학) 18-2. 적분과 미분 순서를 바꿔보자! (Leibniz's Integral Rule) (미적분학 참고링크) (미적분학) 15-3. 더더, 선적분 (Fundamental Theorem in Line Integral, Potential Function): https://0418cshyun.tistory.com/34 이번 챕터에선 적분과 미분 순서를 바꾸게 하는 라이프니츠 공식에 대해서 알아보자. 앞에서 보았듯이, 결국 lim 순서를 바꿀 때처럼, 키포인트는 "Uniform Convergence"이다! (미분, 적분 모두 다 결국엔 lim로 정의가 되니까!) (Leibniz's Integral Rule)(라이프니츠 공식) 아래의 4가지 조건을 만족하면 미분과 적분 순서를 바꿀 수 있다. 즉, 1. f가 어떤 닫힌 영역에서 정의되어 있고, 2. alpha는 단조증가함수 (적분 정의 위해서) 3... 더보기

티스토리툴바