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Mathematics/해석학

(해석학) 14-1. 가끔씩 등장하는 감마함수 (Gamma Function) 이번 챕터에서는 공부하는 도중에 가끔씩 보이는 Gamma Function과 Beta Function에 대해서 알아본다.... 먼저, Gamma Function의 경우, 대부분 Factorial(!)의 실수확장버전으로 알고 있을 것이다. Gamma Function의 정의부터 알아보자! (Gamma function) 우리가 앞에서 Improper Integral(해석학 8-5 참고)을 보았었는데, 이 정의를 이용해서 저 gamma function이 과연 수렴하는지 살펴보자. (Convergence of Gamma Function) 비교판정법을 이용해서 Gamma Function이 수렴함을 보이면 된다!!! t가 커질 때, 저 적분하는 함수가 1/t^2보다 작아지는 것을 이용하면 비교판정법을 이용해 수렴성을 .. 더보기
(해석학) 13-3. 푸리에 급수의 응용 (Application of Fourier Series) 이번시간에는 푸리에 급수를 가지고 어떻게 응용하는지 잠깐 예시를 볼 것이다! 1. 수학적인 Application a. 급수의 계산 b. 편미분방정식의 응용 -> 나중에 미분방정식 카테고리에서 다룰 예정! 2. 공학적인 Application a. Fourier Transform (Frequency Domain) -> 센서값 필터링 (Low-Pass Filter(LPF), High-Pass Filter(HPF)) b. Discrete Fourier-Transform(DFT), Fast Fourier-Transform(FFT) 이 외에도 여러가지 쓰임새가 있겠지만, 일단 이 정도로 보도록 한다. 1. 급수의 계산 위와 같은 급수가 수렴한다는 것은 이미 다들 알고 있을 것이다. 그런데, 이 값을 계산하라고 하면.. 더보기
(해석학) 13-2. 푸리에 급수가 그렇게 좋은가? (Convergence of Fourier Series) 이번 시간에는 푸리에 급수가 원래함수 f에 수렴한다는 것을 살펴보도록 한다. 저번 시간에 이어서 여러 근사법 중에 푸리에 급수가 가장 best한 근사법이라는 것을 확인해보자! (Bessel's Inequality) (증명) 더보기 위의 내용을 이용하면 쉽게 증명이 가능하다. 이것이 주는 일차적인 의미는 바로 푸리에 급수로 근사하는 것이 다른 근사법보다 가장 좋다는 것을 보여준다!!! (물론, 2-norm sense로) (선형대수를 안다면?) 더보기 Bessel's Inequality의 선형대수에서의 의미는 -> 각 Basis의 성분(Basis와의 내적값)을 싹 다 더하면, 원래 Norm보다 작거나 같다! (In 힐베르트 공간) -> 유한 차원(2차원)이라면 -> 피타고라스의 정리!!!! 자세히 설명하기엔.. 더보기
(해석학) 13-1. 공대의 친구, 푸리에 급수(Meaning of Fourier Series) (NOTE) 여기서는 공대에서 쓰이는 개념(예를 들어서, Frequency Domain으로 변환하는 것이라던지...) 그런 거 말고, 수학적으로 어떻게 접근하는지 알아본다! 이번챕터에서는 Fouier Series(푸리에 급수)에 대해서 알아보려고 한다. 아마, 공대에 있다면, 한번쯤은 다 들어봤거나, 들어볼 내용이긴 하지만, 대부분의 경우 수학적으로 알아보진 않을 것이고....(애초에 해석학을 들을 일이 거의 없으니....) 위에서처럼 Frequency Domain으로 변환하는 내용, 미분방정식에서 쓰이는 방법 등등... 푸리에 급수를 응용하는 것만 배우게 된다. 여기서는 위에서 말한 것같이 이러한 내용말고, 수학적으로 접근해보려고 한다. 푸리에 급수를 설명하는 여러 가지 방법이 있지만, 다음과 같은 질.. 더보기
(해석학) 12. 이만큼 배웠으니 급수가 다르게 보인다! (Analytic Function and Power Series) (미적분학, 해석학 참고링크) -Power Series- (미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius): https://0418cshyun.tistory.com/6 (미적분학) 5-2. 결국엔 테일러 급수만 이용하게 됨... (Taylor Series): https://0418cshyun.tistory.com/9 (해석학) 5-3. 나머지 급수 이야기 (Power Series, Rearrangement): https://0418cshyun.tistory.com/56 이번 챕터부터는 지금까지 배운 것(특히, Uniform Convergence)을 응용해 볼 것이다. -> 먼저, POWER SERIES에 대해서 더 살펴보자. (Analyt.. 더보기
(해석학) 11. Norm과 미분방정식의 해의 존재성 이번 챕터에서는 우리가 계속 이용해왔던 Supremum Norm과 나머지 norm의 관계성을 알아보고, 미분방정식의 해의 존재성에 대해서 알아본다. (NORM에 대한 논의) 먼저, 유클리드 공간에서의 Norm은 다음과 같이 정의될 수 있다 (p=inf인 경우에 가장 큰 값만 살고, 나머진 가장 큰 것에 비해서 아주아주 작을 것이다...) 이를 함수 공간으로 끌고 온다면 -> sum은 Integral이 될 것이다! 그래서, 적분 챕터에서 본 Norm의 정의가 바로 사실, p-norm의 경우는 분명히 적분이 가능하다는 조건이 필요하지만, inf-norm의 경우에는 어차피 supremum 값이라서 적분가능성도 사실 필요가 없다! 그런데, 잘 생각해보면 inf-norm에서 했던 수렴성 이야기는 -> p-norm.. 더보기
(해석학) 10-3. Stone-Weierstrass Theorem을 증명해보자! (Proof of Stone-Weierstrass Thm) (Stone-Weierstrass Theorem)(Real version) (Stone-Weierstrass Theorem)(Complex Version) 여기 나온 내용들을 하나씩 천천히 살펴보자! 1. Algebra(대수구조) 정확한 정의는 나중에 추상대수학 카테고리 참고! 사실, 여기서 정확한 정의까지는 필요없고, 다음과 같이 생각하면 된다. 위의 asteroid(bilinear operation)을 그냥 함수끼리의 곱으로 생각하면 (여기서는 C([a,b])등의 함수공간에 대해서만 생각한다!) 즉, 덧셈, 곱셈(asteroid), 스칼라 곱에 대해서 닫혀있다고만 생각하자.... 예를 들어서, 앞에서 본 C([a,b]), P([a,b])는 당연히 algebra일 것이고, R(alpha) 또한 alge.. 더보기
(해석학) 10-2. 테일러 정리가 과연 유효한가를 어디까지 확장할 수 있을까? (Introduction of Stone-Weierstrass Theorem) 지난 챕터까지는 함수열의 수렴을 계속 보아왔는데 갑자기 뜬금없이 테일러 정리라니??? 할 수도 있겠는데, 사실 테일러 정리도 함수열의 수렴의 일부라고 생각할 수 있다. 다시 한번 테일러 정리를 생각해보면... (Taylor Theorem) (이 때, 오차 M은 우리가 이미 최대최소정리를 배웠으니, n번 미분한 함수가 연속이고, compact set에서 정의되어 있으니, 저 sup값이 bounded되어 있음을 안다! -> M은 Bounded!) n급함수(n번 미분가능하고 그 결과가 연속) f를 결국엔 (n-1)th-order Polynomial((n-1)차 다항함수) P(t)로 근사시키는 것이라고 생각할 수 있다. 만일, n이 무한대라면 이런 생각도 할 수 있을 것이다... 자, 그럼 n급함수(혹은 무한급.. 더보기

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