지난 챕터까지는 함수열의 수렴을 계속 보아왔는데 갑자기 뜬금없이 테일러 정리라니??? 할 수도 있겠는데, 사실 테일러 정리도 함수열의 수렴의 일부라고 생각할 수 있다.
다시 한번 테일러 정리를 생각해보면...
(Taylor Theorem)
(이 때, 오차 M은 우리가 이미 최대최소정리를 배웠으니, n번 미분한 함수가 연속이고, compact set에서 정의되어 있으니, 저 sup값이 bounded되어 있음을 안다! -> M은 Bounded!)
n급함수(n번 미분가능하고 그 결과가 연속) f를 결국엔
(n-1)th-order Polynomial((n-1)차 다항함수) P(t)로 근사시키는 것이라고 생각할 수 있다.
만일, n이 무한대라면
이런 생각도 할 수 있을 것이다...
자, 그럼 n급함수(혹은 무한급함수)에서 그냥 연속함수로 일반화해보자....
(Weierstrass Approximation)
즉, 연속함수 f로 uniformly converge하는 다항함수의 수열이 존재한다는 것이다!
(증명)
문제를 간단히 하기 위해서, [a,b] -> [0,1], f(0)=f(1)=0으로 놓자!
또한, f가 [0,1] 밖에서는 그냥 0이라고 하자(연속성은 그대로 유지)
위와 같은 Q_n을 이용해보면 delta가 0에서 1 사이로 주어져 있다면, Q_n은 delta와 1 사이에서 0으로 균등수렴할 것이다!
(Q_n의 bound는 x에 의존하지 않는다!)
P_n을 위와 같이 잡으면, P_n이 x에 대한 다항함수임을 알 수 있다.
위에서 [-1,-delta], [-delta, delta], [delta,1] 이렇게 구간구간 나누어 생각하면
먼저, [-delta, delta]구간은 연속성에 의해서 epsilon/2보다 작아질 수 있고(나머지 Q_n(x) 적분은 (-1~1까지의 Q_n(x)적분)=1보다 작아야 하므로...)
나머지 구간은 [delta~1]은 1보다 작으므로, [delta~1]에서의 Q_n(x)는 위에서 구한 Q_n(x)의 upper bound보다 작다!
f의 경우에는 compact 구간에서 연속이므로, M이 bounded 되어 있음을 알고 있다.
그러므로 위와 같은 방법을 쓰면.... -> Epsilon보다 작다!
그러므로, Uniformly Convergent P_n을 잡을 수 있다!
(Note)
Q(x)는 real-valued ftn
f(x) -> P(x)는 Complex-valued ftn
(Corollary)
만일 f(x)가 real-valued function이면, P(x) 또한 real-valued function으로 대체 가능하다!
위의 내용을 다시 생각해보면, (물론, Compact set [a,b] 위에서)
Polynomial functions들의 집합에서, limit point가 Continuous Function이 된다고 생각할 수도 있을 것이다.
그러면 실수에서
유리수의 집합의 Limit point가 실수가 될 수 있다는 것과 비교해보자!
-> 그러면, (유리수집합 - Polynomial Functions, 실수집합 - Continuous Function)
이런 식으로 대응이 가능할 것 같다!!
즉, 유리수가 실수위에서 Dense하다는 것이 실수에서의 결론이었다면
같은 논리로, Polynomial Functions가 Continuous Functions 위에서 Dense하다는 말도 될 수 있지 않을까???
-> 위의 정리가 이를 말해준다.
(Corollary)
왜냐하면
자, 그러면 이를 조금 더 일반화해보자.
Continuous Function Space 위에서, Dense한 Subset을 Polynomial(다항함수) 말고, 다른 것을 잡을 수 있을까???
(물론, Compact set K 위에서 정의되어야 한다!)
-> 이것이 Stone-Weierstrass Theorem이다!
(Stone-Weierstrass Theorem)(Real version)
(Stone-Weierstrass Theorem)(Complex Version)
아마, 처음 보는 용어들이 엄청 많이 나왔을텐데, 다음 챕터에서 자세히 알아보자!
'Mathematics > 해석학' 카테고리의 다른 글
| (해석학) 11. Norm과 미분방정식의 해의 존재성 (1) | 2023.02.27 |
|---|---|
| (해석학) 10-3. Stone-Weierstrass Theorem을 증명해보자! (Proof of Stone-Weierstrass Thm) (0) | 2023.02.27 |
| (해석학) 10-1 부록. Separable Metric Space와 Base, 그리고 Compact set (0) | 2023.02.26 |
| (해석학) 10-1. 연속 종류가 왜 이렇게 많은지... (Uniform Boundedness, Equicontinuous) (0) | 2023.02.26 |
| (해석학) 9-3. lim와 적분 순서를 바꿔보자! (Uniform Convergence -> Integral/Differentiation) (0) | 2023.02.23 |
