(해석학) 10-3. Stone-Weierstrass Theorem을 증명해보자! (Proof of Stone-Weierstrass Thm)

(Stone-Weierstrass Theorem)(Real version)

 

(Stone-Weierstrass Theorem)(Complex Version)

 

여기 나온 내용들을 하나씩 천천히 살펴보자!

 

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1. Algebra(대수구조)

정확한 정의는 나중에 추상대수학 카테고리 참고!

사실, 여기서 정확한 정의까지는 필요없고, 다음과 같이 생각하면 된다.

위의 asteroid(bilinear operation)을 그냥 함수끼리의 곱으로 생각하면

(여기서는 C([a,b])등의 함수공간에 대해서만 생각한다!)

즉, 덧셈, 곱셈(asteroid), 스칼라 곱에 대해서 닫혀있다고만 생각하자....

 

예를 들어서, 앞에서 본 C([a,b]), P([a,b])는 당연히 algebra일 것이고, R(alpha) 또한 algebra가 될 것이다.

 

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위에서 나온 Uniform Closure를 정의하자.

(Uniformly Closed, Uniform Closure)

그냥 우리가 했었던, closed set과 closure의 개념을 쓰면 된다.

Uniformly closed란, A의 모든 극점(limit point)가 A에 속해있을 때... (Uniform Convergence 개념으로 생각한 limit point)이고,

Uniform Closure란, A의 모든 극점을 싹 다 모아 놓은 것을 말한다.(물론, A도 포함일 것이다. 함수열을 자기자신의 원소만 주르륵 나열하면 극점도 자기 자신일 것이기 때문이다.)

 

이를 조금만 정리하면 다음과 같은 성질을 알 수 있다.

Uniform Closure는 Uniformly Closed algebra이다!

(Closure가 Closed set인 것을 보이는 방법과 동일하다!)

 

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2. Separates Point on K

(Separates Point on K)

즉, A에 같은 함숫값을 다시 지나지 않는 함수가 존재한다면 A separate points on K라고 한다.

 

3. Vanishes at no points on K

(Vanishes at no points on K)

즉, A에 y=0을 지나지 않는 함수가 존재한다면, A vanishes at no points on K라고 한다.

 

참고로 정의에서 A가 연속함수의 집합이 아니라는 점을 상기하자!

 

예를 들어서,

(짝수차항만 가지는 Polynomial)은 NOT Separates Point on Real-axis.. -> 왜냐하면 모든 함수가 f(x)=f(-x)이므로!

 

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위의 Stone-Weierstrass Thm에서, 자꾸 separates points, vanishes at no points를 조건으로 다는데, 이 조건이 무엇을 의미하는지, 다음 성질을 보자!

 

(Separates points, vanishes at no points -> Make Function!)

 

(증명)

헷갈리지 말아야 할 건, c1,c2가 같을수도 있다는 것이다!

(Separate points는 함숫값이 다른 함수가 있다는 것이지, 모든 함수가 다 함숫값이 다른 것이 아니다!)

이 성질이 말해주는 건 -> 이 Algebra A에는(연속이 아니어도 된다는 점을 다시 한번 생각하면서) 어떤 함수던지 다 들어가 있다라는 말! (물론 K의 원소가 적어도 2개 이상이긴 해야 하겠지만...)

 

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자, 그럼 이제부터 Stone-Weierstrass Thm을 증명해보자.

1. (Real Version)

여기선, 연속함수조건과 K가 compact라는 조건이 추가로 붙었다!

(물론 여기서의 C(K)는 "real-valued" continuous를 뜻한다!)

 

(증명)

1.

위에서 x 대신 결국 f(x)를 집어넣는 것이라고 생각하면 된다!

 

2. 

3.

x는 주어진 점이다!!!! (변수가 아니다!)

K의 모든 점에 대응되는 h_y를 위와 같이 잡자.(위에서 본 성질을 이용!) -> 점 x와 점 y에서 f와 h_y는 함숫값이 같다!

그러면, h_y, f는 연속이므로 위와 같은 조건을 만족하는 open ball을 잡을 수 있다!

(점 y 근처에서 저 부등식을 만족한다!)

K가 compact라서 Finite개수의 Subcover(위의 Open ball들)로 덮일 것이고,

이 때, g_x를 위와 같이 잡으면, 여러개를 받는 max함수는 처음부터 차례대로 두개씩 비교해서 max를 뽑아내서 반복하면 똑같은 결과가 나오므로, g_x는 2번에 의해서 B에 속한다.

또한, 점 x에서 모든 h_y가 f(x)를 가지고, K의 아무 점이나 잡아도, J_{y_i}에 속하므로, 위의 부등식을 만족한다! 

 

4.

3번과 똑같은 작업을 하면 된다!(이번에는 max 대신 min!)

 

5. 정리하면

Continuous Function Space(C(K))의 원소 f는 

1. A의 원소이거나

2. A의 원소가 아니다... -> 그러나 근방에 B의 원소 h를 가지고 있다!

그런데, B는 Uniformly Closed이므로 f를 원소로 가져야 한다!(Closed set 성질!) -> A의 Limit point가 된다!

그러므로, B=C(K)가 되고, A가 B=C(K)에서 Dense임을 알 수 있다!!

 

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2. (Complex Version)

여기서는 조건 하나가 추가되었는데 잠깐 살펴보고 바로 증명한다.

 

(Self-Adjoint)

즉, 켤레 함수도 닫혀있어야 한다.

 

(증명)

복소수함수를 실수함수로 나누어서 생각하자! -> 이를 위해서 self-adjoint 조건이 필요하다!

 

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결국 Real이던지, Complex던지, Stone-Weierstrass Theorem이 알려주는 바는

-> Compact set에서, Continuous 함수들의 부분집합(A)(Subalgebra라고 하는데, algebra를 만족하는 subset이라고 생각하자)

-> Separates Point, Vanishes at no point 조건을 만족한다면

-> Uniform Closure(B)가 C(K) 전체로 확장될 수 있다!

는 것을 말하고,

-> 이는 결국 저 Subalgebra가 C(K)(Uniform Closure)에서 Dense이다!

라는 것을 말해준다.

 

이 때, Subalgebra가 Polynomial들의 집합이라면 -> Weierstrass Approximation이 되는 것이다.

 

다음챕터에서는 부록성격으로 미분방정식의 해의 존재성과

계속 supremum-norm에 대해서 생각하고 있는데, 2-norm과는 어떤 관계성이 있을지 알아본다!