이번 챕터에서는 우리가 계속 이용해왔던 Supremum Norm과 나머지 norm의 관계성을 알아보고, 미분방정식의 해의 존재성에 대해서 알아본다.
(NORM에 대한 논의)
먼저, 유클리드 공간에서의 Norm은 다음과 같이 정의될 수 있다
(p=inf인 경우에 가장 큰 값만 살고, 나머진 가장 큰 것에 비해서 아주아주 작을 것이다...)
이를 함수 공간으로 끌고 온다면 -> sum은 Integral이 될 것이다!
그래서, 적분 챕터에서 본 Norm의 정의가 바로
사실, p-norm의 경우는 분명히 적분이 가능하다는 조건이 필요하지만, inf-norm의 경우에는 어차피 supremum 값이라서 적분가능성도 사실 필요가 없다!
그런데, 잘 생각해보면
inf-norm에서 했던 수렴성 이야기는 -> p-norm으로 바꿔도 크게 달라지지 않는다.
다음의 예시를 하나 보자!
Uniform Convergence는 Inf-norm(Supremum Norm)이 Epsilon보다 작아야 했다...
이런 식이 되기 때문에, p가 1보다 크거나 같다면, p-norm도 Epsilon보다 작아질 것이다!
그러나, p-norm에서 성립한다고 해도, inf-norm에서 성립하지는 않는다.
앞에서 보았던 Uniform Convergence가 안되는 예시를 생각해보자.
즉, p-norm이 0으로 간다고, inf-norm이 0으로 가지는 못한다!
Inf-norm(Supremum norm)이 더 일반화된 Norm이라고도 생각할 수도 있겠다....
-> 이를 이용하면, 2-norm Sense로 Weierstrass Approximation도 생각할 수 있다.
2-norm sense로 f에 수렴하는 다항함수열을 잡을 수 있다!
(미분방정식의 해의 존재성)
미분파트에서 본 바로는 립쉬츠 조건을 만족하면 -> 미분방정식의 해가 "유일"했는데
여기선 그 해의 존재성을 따져보도록 하겠다.
(Existence of Solution of Differential Equation)
이러한 Initial-Value Problem이 주어져 있을 때,
만약에 다음을 만족하면
이 IVP는 해를 가진다!
(증명)
1. 억지로 저 해를 만들어보자!
즉, [0,1]을 n개의 구간으로 나누고 f_n을 위처럼 잡아보자.
먼저, f_n'(t)는 각 구간마다 상수인 것을 확인할 수 있다.
그러므로 첫번째 구간부터 순차적으로 적분해서 "연속인" f_n(t)를 구할 수 있다 -> C([0,1])의 원소가 된다!
Delta_n은 실제값(phi(t....))과 구간별 추정값(phi(x_i...))의 오차이므로,
f_n(x)는 위처럼 작성이 가능하다!
즉, f_n(x)는 미분방정식을 n개의 구간을 나누어서 푼 추정값이다! (일단은...)
이 때 n이 커지면, 이 f_n의 극값이 IVP의 Solution이 됨을 보이자!
2. 저기서 Delta_n이 n이 커질수록 0에 가까워진다. -> 즉, 0에 Uniformly Converge함을 보이자!
이를 위해서 다음 단계를 거친다.
위에서 f_n'(x)가 각 구간별 phi값 중 하나였으므로 f_n'(x)는 그 구간별 값 중 가장 큰 것보단 작을 것이다.
이를 이용해서 f_n이 각각 Bounded 되어 있다는 것을 알아내었다!
MVT를 이용해서 {f_n}이 Equicontinuous임을 보인다!
Equicontinuous의 성질을 이용해서, uniformly convergent 부분수열을 잡아서 이 극한을 f라고 하자...
t는 생각하지 말고, f_n(t)쪽을 그냥 y라고 하면, phi가 uniformly continuous이므로, f_n과 f가 그렇게 차이가 그렇게 안나면, phi값도 그렇게 차이가 나지 않는다! -> Uniformly Convergence of Phi
그러므로 Delta_n이 n이 커질수록 0에 가까워진다. -> 즉, 0에 Uniformly Converge함....
그러므로, f(x)는 위 모양이 된다.
즉, 이 f(x)는 존재하고, 위 IVP의 Solution이 된다!
(NOTE)
물론 미분챕터에서 했던 것처럼, Systems of Differential Equation에 대해서도 적용할 수 있다.
