(NOTE)
여기서는 공대에서 쓰이는 개념(예를 들어서, Frequency Domain으로 변환하는 것이라던지...) 그런 거 말고,
수학적으로 어떻게 접근하는지 알아본다!
이번챕터에서는 Fouier Series(푸리에 급수)에 대해서 알아보려고 한다.
아마, 공대에 있다면, 한번쯤은 다 들어봤거나, 들어볼 내용이긴 하지만, 대부분의 경우 수학적으로 알아보진 않을 것이고....(애초에 해석학을 들을 일이 거의 없으니....) 위에서처럼 Frequency Domain으로 변환하는 내용, 미분방정식에서 쓰이는 방법 등등...
푸리에 급수를 응용하는 것만 배우게 된다. 여기서는 위에서 말한 것같이 이러한 내용말고, 수학적으로 접근해보려고 한다.
푸리에 급수를 설명하는 여러 가지 방법이 있지만, 다음과 같은 질문에서 출발하려고 한다.
-> 테일러 급수는 완벽한가????
첫번째는, 테일러 급수가 요구하는게 꽤나 빡빡하다... -> 연속이 아니면 문제가 된다.
또한, 저번시간에 Analytic Function에 대해서 설명을 하였지만, 연속, 무한급함수임에도 불구하고, Analytic Function이 아닌 경우가 분명히 존재한다. (Non-analytic Function)
그리고, 이보다 더 문제인 것은 애초에 테일러 급수를 사용하는 이유가 ((n차) 다항식 -> Finite 항의 다항함수)으로 주어진 함수를 근사시키는 것인데, 이러한 유한차항 다항식의 경우 x가 무한대로 가버리면, 무조건 발산할 것이다.
만약에 주어진 함수가 그런 식으로 발산하는 함수라면 상관이 없겠지만, sin x 처럼 Bounded 된 함수라면, 물론 기준점 근처에선 잘 맞겠지만, x가 커지면, 결국에는 오차가 크게 발생하게 될 것이다.
물론, sin x의 경우에는 analytic function이라서 무한차항의 다항식을 잡는다면, 정확하게 근사가 되지만,
애초의 근사의 목적이 유한차항으로 함수를 잡는 것이므로, 위처럼 무한차항의 다항식을 잡는 것은 목적에서 벗어난다!
물론, Stone-Weirestrass Theorem의 결과로, f에 수렴하는 다항함수열을 잡을 수는 있지만, 그 때는 닫힌 구간에서 잡는 것이었고, 직접 Polynomial을 구하는 것은 또 다른 얘기가 된다. 증명에서 Polynomial을 다음과 같이 잡았었다.
이 Polynomial은 Convolution으로 구하게 되는데, 가장 문제가 주어진 f(x)가 어떻게 생겼느냐에 따라서, 저 적분을 계산할 수 있나 없나가 결정이 된다....(물론, laplace / fourier transformation을 이용하면, 조금 더 편하게 구할 수는 있겠다.. (공업수학 들어본 사람은 무슨 얘긴지 알것이다...))
-->> 어쨌든 위의 얘기를 정리해보면
테일러 급수는
1. 연속함수의 문제
2. Non-analytic Function의 문제
3. (유한차 다항식)으로 근사했을 때, 기준점에서 멀어지면, 오차가 크게 벌어진다.
그러면, 이를 어떻게 해결해야 할까...
-> 2번의 경우는 Bounded된 함수로 근사하면 되지 않을까???
-> sin nx, cos nx로 근사를 해보자!!! -> Fourier Series(푸리에 급수)
(Trigonometric Polynomial)
삼각함수로 만든 다항식이라고 생각하면 된다. 즉,
이를 N을 무한대로 확장시킨다면
(Trigonometric Series)
만약에, 함수 f(x)가 Trigonometric Polynomial P_N(x)로 주어져 있으면 각각의 coefficients는 다음과 같이 구할 수 있다.
이를 이용하면, 이 Trigonometric Polynomial f(x)를 Trigonometric Series로 바꾸어 쓸 수 있다!
물론,
만약에 함수 f(x)가 Trigonometric Polynomial이 아니고, 그냥 [-pi, pi]에서 적분가능한 함수라면 (사실, 위에서 coefficient를 구하기 위해서 -pi~pi에서 적분하긴 했지만, 0~2pi에서 적분해도 되듯, 그냥 주어진 구간에서 적분 가능하면 된다!)
위처럼 똑같이 coefficient를 구해서 급수를 만들 수 있다. 즉,
(Fourier Series)(푸리에 급수)
즉, 푸리에 급수의 의미는 함수 f를 sin, cos (혹은, 그냥 Complex exponential 함수)를 이용해서 근사시키는 것이라고 생각하면 된다.
(테일러 급수의 경우에는 f를 x,x^2,x^3,....을 이용해서 근사시키는 것이라고 생각할 수 있다.)
게다가 연속함수의 조건도 조금 더 풀렸다! -> 적분가능하기만 하면 된다.
대부분의 공대수업에선 수렴성을 대충 보장하고 넘어갔지만
여기선 아직 저 푸리에 급수가 원래 함수 f와 일치, 혹은 수렴하는지 말 안했다!!!
푸리에 급수의 수렴성을 알아보기 위해서, 여기선 조금 더 일반화시켜서 생각해보도록 한다.
여기선, sin, cos 대신에 Orthonormal Functions로 바꾸어서 생각해본다.
(Orthogonal, Orthonormal Functions)
선형대수를 들어본 사람들은 알겠지만,
Orthogonal(수직) basis와 Orthonormal(수직+normalization) basis의 함수버전 확장판이라고 생각하면 된다.
예를 들어서, 2차원 평면에서, Orthogonal basis는 x축, y축(벡터로 표현하면 (2,0),(0,5) 등등.....)이라고 생각할 수 있고, Orthonormal basis는 그것을 Normalization한 것(길이가 1로!) -> (1,0),(0,1)이 될 것이다....
(물론, basis는 잡는 사람 마음이다... -> (1/sqrt(2),1/sqrt(2)), (1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) 도 Orthonormal basis이다....)
또한, 앞에서 2-norm에 대해서 살펴본 것과 연관을 짓자!
-> Orthogonal(수직) : 내적이 0!(수직)
-> Orthonormal(수직, norm=1) : 내적이 0!(수직), 각 norm이 1(normalization)
----> 결국 푸리에 급수의 수렴성은 2-norm과 연관이 되어있다!
또한, 다음과 같은 사실은 Trivial하다.
그렇다면, 위의 푸리에 급수, Coefficient에 대한 내용을 Orthonormal system으로 확장해보면
즉, Fourier Coefficient는 내적값이고, Fourier Series는 그걸 다 더한 것! -> 함수 f를 각각의 Basis로 나타낸 것이나 다름없다!
선형대수(벡터)의 예시를 하나 들어보자....
만일, 벡터 x=(3,-5)를 위의 방식으로 나타낸다고 해보자.
그럼 위에서 Orthonormal basis가 (1,0),(0,1)이 있다고 하였으니....
x=(3,-5)= 3(1,0)+(-5)(0,1) : Fourier Series 이 될 것이다.
Fourier Coefficient는 여기서 각각 3, -5 와 매칭이 될 것이다. (결국 Basis 방향의 성분값!)
푸리에 급수에선
이와 같은 방식으로 여기서는 적분가능한 함수 f를 나타내는 것이다.
즉, Orthonormal basis가 (phi_1, phi_2,.....phi_n,.....)이 있다고 하면
f=c_1*phi_1+c_2*phi_2+...... = (c_1,c_2,c_3,.....)
이렇게 될 것이다.
다만, 우리가 쓸 Orthonormal basis는 Exponential 함수(Complex), 즉, sin nx, cos nx로 무한개가 있으니
f를 저 Orthonormal basis를 가지는 좌표공간에 점을 찍는 방식으로 나타낸다고 하면
(즉, f는 좌표 (c_1,c_2,c_3,.....)가 될 것이다.)
결국 Fourier Series에선
----> 적분가능한 함수 f를 "무한"차원 공간에 "무한 차원" 벡터로 표시하는 것!
이라고 할 수 있다!
(물론, 아직 f와 Fourier Series의 관계성은 말하지 않았지만, 결론적으로는....)
여기까지 Fourier Series의 의미에 대해서 (수학적으로) 접근해보았다.
이러한 내용을 들어본 사람도 있고, 아닐 수도 있겠지만, 하여튼 주어진 함수 f를 sin, cos -> 삼각함수로 표현하려고 하는 것이다!
선형대수 내용을 알고 있다면, Basis 등의 내용들을 좀 더 쉽게 이해할 수도 있겠지만, 여기선 선형대수를 모른다고 해도 (물론, 기본적인 벡터에 대한 내용은 안다고 하고!) 최대한 설명을 자세하게 하려고 한다....
다음챕터에선, 저 Fourier Series가 진짜로 f를 근사하는지 알아보도록 하자.
아직까지 f와 Fourier Series가 어떤 연관성이 있는진 모른다!!!
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