이번 시간에는 푸리에 급수가 원래함수 f에 수렴한다는 것을 살펴보도록 한다.
저번 시간에 이어서 여러 근사법 중에 푸리에 급수가 가장 best한 근사법이라는 것을 확인해보자!
(Bessel's Inequality)
(증명)
위의 내용을 이용하면 쉽게 증명이 가능하다.
이것이 주는 일차적인 의미는 바로
푸리에 급수로 근사하는 것이 다른 근사법보다 가장 좋다는 것을 보여준다!!! (물론, 2-norm sense로)
(선형대수를 안다면?)
Bessel's Inequality의 선형대수에서의 의미는
-> 각 Basis의 성분(Basis와의 내적값)을 싹 다 더하면, 원래 Norm보다 작거나 같다! (In 힐베르트 공간)
-> 유한 차원(2차원)이라면 -> 피타고라스의 정리!!!!
자세히 설명하기엔 그렇지만, 여기선 무한차원이기 때문에, 등식이 성립하는 것이 아니라 부등식으로 성립한다고 생각하자....
즉, Fourier Coefficient를 구하는 방법을
-> 선형대수의 Gram-Schmidtz 방법의 무한차원 버전이라고 생각해도 좋다!
-> f를 Orthonormal basis로 표현한다!
Fourier Series의 수렴성을 보기 전에, 식을 편하게 정리하기 위해서 Dirichlet Kernel에 대해서 잠깐 설명한다.
(Dirichlet Kernel)
이 식이 어쩌다 나왔는지 잠시 보면...
-> 적분가능한 함수 f가 주어져 있을 때, 수렴성을 판단해야 할 수열은 다음과 같다. -> {s_N}
즉, s_N(x)를 표현하다보니 Dirichlet Kernel이 나왔는데, 이를 이용하면, Convolution으로 표현가능하다!
그럼 이제 저 Trigonometric Series s_N(x)가 f에 수렴하는지 살펴보자!
(POINTWISE Convergence of Trigonometric Series)
주어진 x에 대해서, 위의 조건을 만족한다면, N이 커지면 x에서 Pointwisely 수렴한다!
(증명)
Dirichlet Kernel을 이용하자!
(Corollary)
앞에서 Power Series의 경우에는 두 함수가 같은 값을 가지는 지점의 set이 극점을 가지면 두 함수가 동일했는데,
여기서는 그렇지 않다!! (Pointwise 수렴만 보장하므로....) -> Localization Theorem!
이미, 이 Pointwisely 수렴성이 그렇게 좋은 수렴성이 아니라는 것은 알 것이다.
그러면, 어느 조건이 있어야지 Uniform Converge를 이끌어 낼 수 있을까?
사실, 여기에 대한 해답은 Stone-Weierstrass Theorem에서 나왔다....
(Stone-Weierstrass in Trigonometric Polynomial)
즉, 연속이고 (주기 2pi)인 경우의 Stone-Weierstrass Thm을 쓴 것 밖에는 없다!
(증명)
여기서는 푸리에 급수의 내용을 쓴 게 없다! 즉, 저 P가 위에서의 s_N(x)가 아닐 수 있다!
다른말로 하면, 푸리에 급수로 근사를 한 것이 Uniformly Converge인지는 모르겠지만, 다른 Trigonometric Polynomial에서 Uniformly Converge가 될 수는 있다는 것이다!
푸리에 급수가 일단 Uniform Convergence인지는 모른다는 건데, 이대로 넘어가긴 아쉽다...
그래서, 다음과 같은 정리를 소개한다.
(Fejer's Theorem)
즉, 푸리에 급수를 평균값처럼 낸 것이 Uniformly Converge한다는 말이다! (f는 연속!)
(증명)
먼저 Dirichlet Kernel도 평균값을 내주자! -> Fejer Kernel이라고 한다.
이 Fejer Kernel을 이용해서 위 내용을 증명해보자.
Fejer kernel도 Dirichlet kernel처럼 쓰기 좋게 바꿔놓았으니, 다음과 같은 성질이 있다는 것을 확인해보자.
1. 다음 사실은 Trivial...
2.
3.
그럼 Fejer kernel을 이용해서 저 위의 푸리에 급수의 평균값을 계산해보자.
구간을 세개로 나눴는데, 첫번째와 세번째의 경우
두번째의 경우
그러므로,
또한, 이를 이용하면 다음과 같은 성질도 얻을 수 있다!
(Corollary)
이 경우에는 불연속이라 위의 정리를 쓸 수는 없겠지만,
적어도 Pointwisely 수렴(Uniform이 아니다!)이 "평균값"이라는 논리는 똑같이 작동한다.
앞에서 선형대수 이야기를 하면서, 푸리에 급수가 결국엔 함수를 무한차원 공간의 좌표(벡터)로 보는 것과 같다고 했는데, 그러면, 여기서 진짜로, 내적과 Norm을 사용할 수 있는지 확인해보자.
(Parseval's Theorem)
Bessel's inequality는 일반적인 Orthonormal basis에서의 이야기였다면, 이번엔, 푸리에 급수에서 쓰는, sin nx, cos nx를 basis로 가질 때의 이야기이다! -> 부등식이 아니라, 등식으로 나오게 된다!
즉, 함수공간의 내적과 Norm은 그냥 Fourier Coefficient에서의 내적과 Norm과 같다!
-> 함수를 무한차원 공간의 좌표(벡터)로 보아도 내적과 Norm의 의미가 바뀌지 않는다!
또한, 푸리에 급수는 (2-norm sense)에서 수렴성을 보장한다!
(증명)
1. 여기선 Continuous 조건이 아니기 때문에 Stone-Weierstrass Thm을 바로 쓰지 않는다!
리만적분가능할 때, 2-norm sense에서 연속인 함수를 아주 가깝게 잡을 수 있다는 사실을 이용한다! (해석학 8-5 참고!)
2. Cauchy-Schwartz Inequality는 내적공간에서 성립한다는 것을 이용하자! (해석학 8-5 참고!)
3. 2번에서 g를 f로 바꿔서 생각하면 된다!
여기까지 푸리에 급수에 대한 내용과 수렴성을 알아보았다.
테일러 급수와 푸리에 급수를 비교해보자!
| Taylor Polynomial(테일러 다항식) | Trigonometric Polynomial | |
| 조건 | 연속, n급함수(n번 미분가능, 결과 연속) | 리만적분가능 |
| Basis | 다항함수(x^n) | 삼각함수(sin nx, cos nx) |
| 오차(Error)(Pointwisely) | 직접 구할 수 있다! -> 컨트롤 가능! | 직접 구하긴 어려움.... |
| Taylor Series(테일러 급수) | Fourier Series(푸리에 급수) | |
| 조건 | 연속, 무한급함수(무한미분가능) | 리만적분가능 |
| Basis | 다항함수(x^n) | 삼각함수(sin nx, cos nx) |
| Pointwisely 수렴 | 수렴반경 안, analytic function(일치) | 주어진 구간 안(주기함수), 일정조건 필요 (아주 작은 범위에서 선형보다 좋아야 함) |
| Uniformly 수렴 | 수렴반경 안, analytic function(일치) | (일반적으로) No -> Fejer's Thm |
| 2-norm 수렴성 | 수렴반경 안, analytic function(일치) | O |
아무래도 해석학 자체가 수학적인 내용을 많이 담고 있으니, 자꾸 내적공간 같은 선형대수 쪽 내용들이 자꾸 나오게 되는데, 다음 챕터에선 푸리에 급수를 응용하는 내용 하나 짚고 넘어가보자.
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