(미적분학, 해석학 참고링크)
-Power Series-
(미적분학) 3-1. 테일러 정리를 들어가기 전에...(Power Series, Convergence Radius): https://0418cshyun.tistory.com/6
(미적분학) 5-2. 결국엔 테일러 급수만 이용하게 됨... (Taylor Series): https://0418cshyun.tistory.com/9
(해석학) 5-3. 나머지 급수 이야기 (Power Series, Rearrangement): https://0418cshyun.tistory.com/56
이번 챕터부터는 지금까지 배운 것(특히, Uniform Convergence)을 응용해 볼 것이다. -> 먼저, POWER SERIES에 대해서 더 살펴보자.
(Analytic Function)
미적분학에서 보았듯이
으로 표현되는 f(x)를 analytic(해석적) function이라고 한다.
즉, 주어진 f(x)를 Power Series로 표현할 수 있다. (f(x) -> Power Series)
그러면, 만일 수렴하는 Power series가 주어졌을 때, f(x)를 구성하면 어떻게 될까? (즉, 역을 생각해보자)
(Power Series -> f(x)?)
(증명)
1. Uniformly convergent
2. 주어진 f'(x)의 급수가 수렴하는가? (저 급수가 f'(x)인진 아직 모르지만)
3. Uniformly Convergent임을 이용해서 f'(x)가 저 급수임을 보이자!
4. f'(x)가 존재하므로, f가 (-R,R)에서 연속이고, 미분가능하다.
저기서, 굳이 구간을 [-R+epsilon, R-epsilon]으로 잡은 이유는 Uniformly Convergent의 성질을 쓰기 위함이다.
그런데, 저 구간을 조금 더 확장시킬 수는 없을까?
즉, (-R,R) -> [-R,R] ????
일단, 양수구간에 대해서는 가능하다.
(Expansion of Domain of Power Series)
즉, 양수 구간에 대해서 끝점까지 연속성은 보장할 수 있다. (Uniformly Convergent가 아님에도 불구하고!)
(증명)
위에서 그냥 아주 작은 delta를 잡으면, epsilon보다 작아진다고 했는데, 자세히 설명하면...
Power Series가 나오면 꼭 나오는 것이 Taylor Theorem인데, 수렴반경에 대해서 조금만 더 알아보면..?
(Taylor Theorem and Convergence Radius)
즉, 어디서 테일러 정리의 기준점을 잡던 간에 수렴되는 부분은 바뀌지 않는다!
정확히는, 움직인만큼 보장하는 수렴반경이 줄어들 것이다!
(증명)
그리고, 다음과 같은 성질을 얻을 수 있는데, 이게 상당히 중요하다!
-> 두 Analytic Function이 동일한지는, 정의역의 모든 x에 대해 비교하지 않아도 된다!!
(Uniqueness of Power Series)
두 analytic function이 있는데, 부분부분에서 두 함숫값이 같고, 같은 값을 가지는 x를 모아놓은 집합에서 limit point를 S에서 가진다면! (그러니까, 끝점은 빼야 한다.) -> x 전체에서 함수가 동일하다. 즉 동일한 함수이다!
(증명)
먼저, E에선 f(x)=0이고, E의 모든 limit point를 모아놓은 집합을 A라고 하자.
A가 open set임을 보이자!
A에서 한 점 x_0를 잡자.
만약에 k를 d_k가 처음 0이 되는 k로 잡았을 때, 식을 전개하다보면, 연속성에 의해서, x_0 근방에서 f(x)는 0이 아니다.
그러므로 x_0는 E의 limit point가 될 수 없다! (주변에 f(x)=0이 되는 점이 계속 있어야 한다!)
그런데, x_0는 A에서 뽑았으므로, 모순이다!
이는 결국 그런 k가 없다는 것이고, 즉, 모든 d_k=0이다!
모든 d_k=0이면, x_0 근처에서 항상 f(x)=0이라는 것이고, (모든 limit point of E) A는 E에 속하므로 (같은점 계속 선택하면!)
결국 A는 open set이라는 결과가 나온다!
맨 윗 가정에서 E는 항상 limit point를 가지므로, A는 공집합이 아니다. 즉, A=S...
그런데 위에서, A 위의 점 x에서 항상 f(x)=0이었다. 그러므로 S 전체에서 f(x)=0이다.
여기까지, 계속 조금씩 등장하던 Power Series에 대한 얘기를 마무리하려고 한다.
다음시간에는 Fourier Series에 대해서 알아보도록 한다!
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