앞에서 Compact set은 Countable Dense Subset을 가진다고 하였었다.
이를 증명하려면, 앞의 Topology 내용으로 잠시 돌아가야 한다.
먼저 다음 내용을 살펴보자.
(Separable Metric Space)
Countable Dense Subset을 가지는 Metric Space
예를 들어서, 유클리드 공간은 Separable이다.
유리수집합이 Countable한 것은 자명하기 때문에 생략하고, 실수에서 Dense인 것도 증명은 생략하겠다...
또한, 다음의 개념이 필요하다.
(Base)
풀어서 설명하면, X의 base {V_alpha}는
X의 모든 점 x와 모든 open set G에 대해서
만약에 x가 G의 원소이면, {V_alpha}의 원소들 중에서, x를 포함하고, G에 포함되는 원소가 있어야 한다라는 말이다.
즉, 다른 말로 표현하면,
X의 모든 Open set은 {V_alpha}의 subcollection이라고 할 수 있다.
(NOTE) Open set들의 합집합은, finite개수이던지, infinite 개수이던지 Open set이었다!!
위의 두 정의를 이용해서 다음 성질을 유도하자!
모든 Separable metric space는 Countable인 Base를 가지고 있다.
즉, 위의 정의에서 alpha가 Count가 가능하다는 것이다! ({V_1,V_2,....} -> 이런식으로 Base를 정의할 수 있다!)
(증명)
설명하자면
Separable Metric Space이므로 Countable Dense Subset을 가질 것이고, 이를 Y라 한다면...
다음과 같은 open set 모음을 생각하자.
Y의 원소 y를 중심으로 하고, 유리수 반지름을 가지는 Open ball들의 모음을 {V_alpha}라고 하자.
그러면, Y가 Countable, 유리수 집합이 Countable이라 {V_alpha}도 Countable일 것이다.
이 {V_alpha}가 Base의 정의에 부합하는지 살펴보자.
Y가 Dense이므로, X의 모든 원소는 Y의 원소이거나 Y의 limit point이어야 한다.
1. 먼저, x가 Y의 원소인 경우...
G가 open set이므로, x를 중심으로한 어떤 open ball이 G에 포함될 것이다. -> 그 반지름보다 작은 유리수 반지름을 잡아보면, 그 open ball은 {V_alpha}에 속할 것이다!
2. x가 Y의 limit point인 경우
G가 open set이므로, x를 중심으로한 어떤 open ball(B_{x,delta})이 G에 포함될 것이다. 그런데 x가 Y의 limit point라서, 이 open ball에는 Y의 원소 y가 포함된다. (B_{x,delta}) 또한 open set이라서, y에 대해서도, (B_{y,delta'})가 (B_{x,delta})에
포함되는 delta'가 있을 것이다. 이 (B_{y,delta'}) 또한 {V_alpha}의 원소가 되므로,
1번과 2번 경우 둘 다 Base의 정의에 부합한다!
이러한 방법을 이용해서 Separable Metric Space를 생각해보자.
1. 모든 무한 부분집합이 극점을 가지는 X는 Separable이다.
(사실, 유클리드 공간이었다면, Bounded -> 무한 subset이 극점을 가진다!)
(증명)
X를 마치 Compact set 덮듯이 덮어버리면 된다!
delta=1, 1/2, 1/3,.... 이런 식으로 생각하면서 각각 나오는 A_n을 구해서 이를 모두 합집합 시켜놓으면(A)
A는 당연히 Countable이고, (n=1,2,..... -> x를 count할 수 있으므로!)
또한, A가 X에서 Dense이다!
(만일, x가 A의 원소가 아니라면, x의 아주 근방에 (어떤 epsilon을 잡아도) A의 원소가 존재한다! (반지름이 1/n인 open cover로 덮을 수 있으므로!!!)
2. Compact set은 Separable이다!
-> 1번과 같이 open cover를 덮어버리면, compact 성질에 의해서 finite하게 덮이기 때문에 1번과 완전 동일하게 증명하면 된다!
-> 즉, 우리는 여기서 하이네-보렐 정리 중 일부를 증명한 것이다!
(하이네-보렐 정리 : Closed, bounded만 유클리드 공간에서만 유효하고, 나머지 두가지 성질은 유클리드 공간이 아니어도 성립한다!)
(NOTE) (모든 무한 부분집합이 극점을 가지는 X는 Compact set이다!)
(증명)
X가 Separable이라는 것을 이용하면, Countable base를 가지기 때문에, 결국 Countable subcover를 가진다고 할 수 있다.
문제는 이게 Finite인지, Infinite인지 판단을 해야 한다.
Infinite라고 가정하면 (즉, Finite 개수로 덮어서는 다 안 덮인다!) 위처럼 F_i에서 하나씩 x_i를 잡아서, 그걸로 set을 만들면, infinite set이기 때문에, 극점을 가져야 한다.(문제 조건)
근데, 이 극점은 F1에도 포함되고, F2에도 포함되고,...... -> 모든 F_i에 대해서 다 포함되므로, F_i의 (infinitely) 교집합은 empty가 아니다. 그런데, 이 말은 G_i의 (infinitely) 합집합으로 X를 못 덮는단 말이므로, 모순이다!
그러므로 Finite Subcover를 가져야한다.... -> Compact!
자, 우리가 원했던 답은 나왔다!
Compact Metric Space가 Separable Metric Space이므로 Countable Dense subset을 갖는다!
하나 알아두면 유용한 것이 위에서 Open cover를 잡는 방식이다. -> Compact set에서 open cover 잡는 방식을 알아두면 좋다!
-> 반지름을 1/n으로......
