(미분방정식) 7-3. 2nd-Order ODE with Constant Coefficients (3)

이번 챕터에서는 특성방정식의 해가 "중근"이 나오는 경우를 살펴볼 것이다.

 

우리 문제가 다음과 같이 주어져 있다고 하자.

그러면, 6-1에서 본 것처럼 해를 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.

해가 2개가 나온 경우에는 두 개를 써줄 수 있었는데, 이 경우에는 근이 하나밖에 나오지 않으므로 위와 같이 써주는 것이 최선이다.

 

6-1에서 미분방정식의 해가 나올만한 함수들을 골라서 대충 때려넣었듯이, 억지로 이 미분방정식의 해가 나올만한 함수를 하나 더 찾아보자.

 

(IDEA)

결국 exp(-t)는 해가 되어야 하므로, 다음과 같은 식이 해가 된다고 가정해보자!

 

그러면, 

 

즉, 다음 식은 주어진 미분방정식의 해가 된다!

 

=> 우리가 특성방정식의 해로 구한 미분방정식의 해에 t를 곱한 것이 또 다른 해가 된다!!

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일반적인 경우를 살펴보자.

특성방정식의 해가 다음과 같이 "중근"으로 나왔다고 하자.

그러면, 특성방정식은 다음과 같이 생겼을 것이다.

(이 때, 최고차항 계수 a는 중요하지 않으므로 그냥 1로 놓자.)

 

이에 해당하는 미분방정식은 다음과 같이 생겼을 것이다.

우리가 특성방정식으로 얻은 해는

그러면, 다음과 같은 식으로 또 다른 해를 만들어보자.

이 y를 미분방정식에 넣으면

그러므로, 

위에서 본 결과와 동일하다!!!

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이 경우에도 해가 시간에 따라 어떻게 변하는지 확인해보자.

당연하게도, a>0이면 발산, a<0이면 수렴할 것은 자명하고

exp(at)와 t*exp(at)를 비교하자면 초반에는 exp(at)가 지배적으로 움직이다가 결국엔 t*exp(at)가 해를 지배적으로 움직일 것이다.

그래프를 살펴보자!

 

(Example)

(alpha=3, c_1=2, c_2=-1)

1.2초까지는 y가 exp(at)를 따라가지만

3초까지 늘려보면, y가 texp(at)를 따라가는 것을 확인할 수 있다.

그리고, 발산/수렴성도 당연히 alpha=3이므로, 발산하는 것을 확인할 수가 있다!!

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여기까지 대부분의 2차미분방정식의 케이스인 (계수가 상수, Homogeneous Form)인 경우 미분방정식을 어떻게 접근하는지 보았다.

게다가, 3차 미분방정식 등 고차 미분방정식도 이와 동일한 방법으로 풀게 된다!!! (물론, 벡터로 고쳐서 Systems of ODE로 보는 것이 더 일반적이고 심플함)

 

**이 내용들은 선형대수학에서 Diagonalization / Jordan Form하고 연관이 있으니, 참고하면 좋다.